Question

13．質(zhì)量都為m的兩太空站a、b在同一軌道平面沿同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動；地球半徑為R，表面重力加速度為g；a離地面的高度等于R，b離地面的高度為2R，則
（1）a的運(yùn)行角速度ω_a是多少？
（2）假設(shè)，為滿足科學(xué)研究需要，有時(shí)要讓不同軌道高度的兩空間站的運(yùn)行速度一樣，這時(shí)可以用一條任性足夠強(qiáng)的輕繩將a、b兩空間站連接起來，調(diào)節(jié)a、b的速度，使它們的連線過地心并穩(wěn)定運(yùn)行，忽略a、b間的萬有引力，求此時(shí)繩子的拉力F和a、b的角速度ω？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面的物體萬有引力等于重力列式，對a空間站，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）分別對ab兩個(gè)空間站受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式求解即可．

解答 解：（1）地球表面一質(zhì)量為m₀的物體，其萬有引力等于重力，則有：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
對a空間站，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m{{ω}_{a}}^{2}•2R$
解得：${ω}_{a}=\sqrt{\frac{g}{8R}}$
（2）a空間站受萬有引力和沿半徑向外的拉力，由合力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}-F=m{{ω}_{\;}}^{2}•2R$
b空間站受萬有引力和沿半徑向里的拉力，由合力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（3R）}^{2}}+F=m{{ω}_{\;}}^{2}•3R$
解得：F=$\frac{19mg}{180}$，$ω=\sqrt{\frac{13g}{180R}}$
答：（1）a的運(yùn)行角速度ω_a是$\sqrt{\frac{g}{8R}}$；
（2）此時(shí)繩子的拉力F為$\frac{19mg}{180}$，a、b的角速度ω為$\sqrt{\frac{13g}{180R}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，注意若用一條任性足夠強(qiáng)的輕繩將a、b兩空間站連接起來，則ab的角速度相等，同時(shí)注意黃金代換式的應(yīng)用，難度適中．