Question

4．滑板運動項目部分軌道可簡化為由AB、CD兩段半徑R=3m的四分之一光滑豎直圓弧面與長度L=4m的水平BC段組成，如圖所示，運動員和滑板總質最 m=60kg，從A點由靜止自由滑入軌道，假定運動員始終在同一堅直面內運動，已知滑板與水平BC段之間的動摩擦因素μ=0.02，取g=10m/s²，求：
（1）運動員第一次滑到B點速度大小；
（2）運動員第一次滑到B點時對軌道的壓力；
（3）運動員最終停止的點距B點的水平距離．

Answer 1

分析 （1）先根據機械能守恒求出物塊從A點下滑到B點時速度的大��；
（2）在B點，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解軌道對物塊的支持力，由牛頓第三定律得到對軌道底端的壓力．
（3）物體在BC面上所受的滑動摩擦力始終做負功，而且滑動摩擦力做功與總路程有關，根據動能定理對從開始運動到最終停止整個過程列式，求出物體在BC上滑行的總路程，然后確定其位置．

解答 解：（1）從A到B，由機械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則得，v_B=$\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×3}m/s=2\sqrt{15}m/s$
（2）在B點，物塊由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律
  F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
解得，F_N=3mg=3×60×10N=1800N     
（3）對整個過程，由動能定理得：mgR-μmgs=0，
代入數據解得：s=150m，$n=\frac{s}{{S}_{BC}}=\frac{150}{4}=37.5$次，最后物體停在BC中點；距離為2m
答：（1）運動員第一次滑到B點速度大小為$2\sqrt{15}m/s$；
（2）運動員第一次滑到B點時對軌道的壓力為1800N；
（3）運動員最終停止的點距B點的水平距離為2m

點評 本題涉及力在空間的效果，運用動能定理求解比較簡便，關鍵要抓住滑動摩擦力做功與總過程有關，由動能定理可求得總路程．