Question

8．如圖所示，高臺的上面有一豎直的$\frac{1}{4}$圓弧形光滑軌道，半徑R=1.25m，軌道端點B的切線水平．質量m=0.5kg的滑塊（可視為質點）由軌道頂端A由靜止釋放，離開B點后經時間t=1s撞擊在足夠長的斜面上的P點．已知斜面的傾角θ=37°，斜面底端C與B點的水平距離x₀=3m．當滑塊m離開B點時，位于斜面底端C點、質量M=1kg的小車，在沿斜面向上的恒定拉力F作用下，由靜止開始向上加速運動，恰好在P點被m擊中并卡于其中．滑塊與小車碰撞時間忽略不計，碰后立即撤去拉力F，此時小車整體速度變?yōu)?.2m/s，仍沿斜面向上運動．已知小車與斜面間動摩擦因數(shù)μ=0.25．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力．求：
（1）滑塊離開至B點時的速度大��；
（2）拉力F大�。�
（3）小車在碰撞后在斜面上運動的時間．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出滑塊到達B點時的速度．
（2）由平拋運動知識求出M的水平位移，然后由幾何知識求出M的位移，由運動學公式求出M的加速度，由牛頓第二定律求出拉力大�。�
（3）由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式可以求出滑塊的運動時間．

解答 解：（1）m由A到B過場中，由機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=5m/s
（2）m離開B后做平拋運動的水平位移x=v_Bt=5m
由幾何關系可得M的位移為：s=$\frac{x-{x}_{0}}{cos37°}$=$\frac{5-3}{0.8}m=2.5m$
設滑塊M向上運動的加速度為a，由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
可得a=5m/s²
由牛頓第二定律可得：F-Mgsin37°-μMgcos37°=Ma
解得：F=13N
（3）撤去拉力后，滑塊M沿斜面上滑過程的加速度：
（M+m）gsin37°+μ（M+m）gcos37°=（M+m）a₁
a₁=gsin37°+μgcos37°=8m/s²
上滑時間t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{3.2}{8}s=0.4s$
上滑位移s₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{3．{2}^{2}}{2×8}s$=0.64m
滑塊M沿斜面下滑過程的加速度a₂=gsin37°-μgcos37°=4m/s²
下滑過程s+s₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
解 得：${t_2}=\sqrt{\frac{{2（{s+{s_1}}）}}{a_2}}=\sqrt{\frac{{2（{2.5+0.64}）}}{4}}s=1.25s$
所以返回所用的時間為：t=t₁+t₂=（0.4+1.25）s=1.65s
答：（1）滑塊離開至B點時的速度大小5m/s；
（2）拉力F大小13N；
（3）小車在碰撞后在斜面上運動的時間1.65s．

點評 本題是多體多過程問題，分析清楚物體運動過程是正確解題的關鍵，應用機械能守恒定律、牛頓定律、運動學公式即可正確解題．