Question

3．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星與此前日本發(fā)射的“月亮女神號(hào)”探月衛(wèi)星不同，“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在12月11日利用CCD相機(jī)已對(duì)月球背面進(jìn)行了成像探測(cè)，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖．衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距離月球表面高為H，繞行周期為T_M；月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀；地球半徑為R_E，月球半徑為R_M．試解答：
（1）忽略地球及太陽引力對(duì)繞月衛(wèi)星的影響，求月球與地球質(zhì)量之比；
（2）如圖所示，當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直時(shí)，探月衛(wèi)星向地球發(fā)送所拍攝的照片，則照片傳送到地球最少需要多長(zhǎng)時(shí)間？已知光速為C．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞月做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據(jù)由牛頓第二定律可求出月球的質(zhì)量．月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)，由地球的萬有引力提供向心力，由月球公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，根據(jù)由牛頓第二定律可求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)幾何知識(shí)求出衛(wèi)星到地面最短距離，再求出時(shí)間．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得${F_向}=m{a_n}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
月球繞地公轉(zhuǎn)由萬有引力提供向心力得，$G\frac{{{M_月}{M_地}}}{R_0^2}={M_月}{（\frac{2π}{T_E}）^2}{R_0}$
同理，探月衛(wèi)星繞月運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$G\frac{{{M_月}{M_衛(wèi)}}}{{{{（{R_M}+H）}^2}}}={M_衛(wèi)}{（\frac{2π}{TM}）^2}（{R_M}+H）$
由上兩式聯(lián)立解得：$\frac{M_月}{M_地}={（\frac{T_E}{T_M}）^2}×{（\frac{{{R_M}+H}}{R_0}）^3}$；
（2）設(shè)探月極地軌道上衛(wèi)星到地心的距離為L(zhǎng)₀，則衛(wèi)星到地面最短距離為L(zhǎng)₀-R_E，由幾何知識(shí)得：
L₀²=R₀²+（R_M+H）²
將照片發(fā)回地面的時(shí)間
t=$\frac{{{L_0}-{R_E}}}{c}=\frac{{\sqrt{R_0^2+{{（{R_M}+H）}^2}}-{R_E}}}{c}$
答：（1）月球與地球質(zhì)量之比：$\frac{M_月}{M_地}={（\frac{T_E}{T_M}）^2}×{（\frac{{{R_M}+H}}{R_0}）^3}$；
（2）探月衛(wèi)星傳送到地球最少需要$\frac{\sqrt{{R}_{0}^{2}+（{R}_{M}+H）^{2}}-{R}_{E}}{c}$時(shí)間

點(diǎn)評(píng) 本題是計(jì)算天體質(zhì)量問題，利用萬有引力與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的結(jié)合求解環(huán)繞天體的質(zhì)量，是常用方法之一．