Question

如圖甲，水平地面上有一個(gè)輕質(zhì)彈簧自然伸長(zhǎng)，左端固定在墻面上，右端位于O點(diǎn)。地面右端M緊靠傳送裝置，其上表面與地面在同一水平面。傳送裝置在半徑為r、角速度為的輪A帶動(dòng)下沿圖示方向傳動(dòng)。

在彈性限度范圍內(nèi)，將小物塊P₁往左壓縮彈簧到壓縮量為x時(shí)釋放，P₁滑至M點(diǎn)時(shí)靜止，其速度圖像如圖乙所示（虛線0q為圖線在原點(diǎn)的切線，bc段為直線）。之后，物塊P₂在傳送裝置上與M距離為l的位置靜止釋放，P₁、P₂碰撞后粘在一起。已知P₁、P₂質(zhì)量均為m，與傳送裝置、水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，M、N距離為，重力加速度為g 。

（1）求彈簧的勁度系數(shù)k以及O、M的距離s。

（2）要使P₁、P₂碰撞后的結(jié)合體P能回到O點(diǎn)，求l的取值范圍以及P回到O點(diǎn)時(shí)的速度大小v與l的關(guān)系表達(dá)式。

Answer 1

．解：（1）由圖乙知，剛釋放彈簧時(shí)，P₁具有的加速度為               

由胡克定律得此時(shí)彈簧彈力為                              

  由牛頓第二定律得                                 

解得彈簧的勁度系數(shù)為                           

由圖乙，P₁離開(kāi)彈簧時(shí)的速度為                      

     之后P₁做加速度為的勻減速直線運(yùn)動(dòng)到M時(shí)速度為零，有

                                     

解得O、M距離為                           

 （2）P₂與P₁碰前瞬間速度為v₂，碰后結(jié)合體P的速度為v₃，碰撞前后動(dòng)量守恒，有

                                                       

碰后P₂、P₁結(jié)合體P能在地面上往左勻減速回到O點(diǎn)時(shí)速度為v，有

                              

若P₂在傳送裝置上一直加速到M點(diǎn)，則有                

由解得                      

要使結(jié)合體P能回到O點(diǎn)，必須，即                                    

若P₂在傳送裝置上一直加速到M點(diǎn)時(shí)剛好與傳送裝置達(dá)到相同速度，

即有v₂=                                       

代入式    解得                            

i：當(dāng)時(shí)，P₂在傳送裝置上一直加速，并最終結(jié)合體P能回到O點(diǎn)，回到O點(diǎn)時(shí)的速度為                                     

ii：當(dāng)時(shí)，P₂在傳送裝置上先加速后勻速，與P₁碰前瞬間速度始終為v₂=，代入式得