如圖所示，間距為L(zhǎng)、半徑為R0的內(nèi)壁光滑的
14
圓弧固定軌道，右端通過(guò)導(dǎo)線接有阻值為R的電阻，圓弧軌道處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．質(zhì)量為m、電阻為r、長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的金屬棒，從與圓心等高的ab處由靜止開始下滑，到達(dá)底端cd時(shí)，對(duì)軌道的壓力恰好等于金屬棒的重力2倍，不計(jì)導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻，空氣阻力忽略不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒到達(dá)底端時(shí)，電阻R兩端的電壓U多大；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量Q．
分析：（1）由于已知在cd位置對(duì)軌道壓力為重力的兩倍，由向心力表達(dá)式可以得到此時(shí)的速度，進(jìn)而可得此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，由歐姆定律可得電阻R兩端的電壓．
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻的電量應(yīng)該有電流平均值來(lái)求，可先由法拉第電磁感應(yīng)定律求得此過(guò)程中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而可得平均電流，通過(guò)R點(diǎn)電荷量即為q=
.
I
t．
（3）由于導(dǎo)體棒的速率是定值，金屬棒垂直于磁場(chǎng)方向的速度可表示為vx=vcosα，金屬棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLvx，可知感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有效值為
BLv
2
，進(jìn)一步可得電流有效值，由Q=I2Rt可求產(chǎn)生的熱量．
解答：解：（1）金屬棒滑到軌道最低點(diǎn)時(shí)，由圓周運(yùn)動(dòng)：
N-mg=m
v2
R0
…①
根據(jù)題意：
N=2mg…②
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=BLv…③
金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
I=
E
R+r
…④
電阻R兩端的電壓為：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=
BLR
gR0
R+r
…⑥
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量為：
q=
.
I
t
由歐姆定律有：
.
I
=
.
E
R+r

根據(jù)法拉第電場(chǎng)感應(yīng)定律：
.
E
=N
△?
△t
=
BLR0
t

由以上三式得：
q=
BLR0
R+r

（3）金屬棒以恒定的速率v從軌道的底端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，金屬棒垂直于磁場(chǎng)方向的速度為：
vx=vcosα
金屬棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：
E=BLvx
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有效值為：
E=
BLv
2

電路中的電流有效值為：
I=
E
R+r
=
BLv
2
(R+r)

金屬棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t=
1
4
?2πR0
v

金屬棒產(chǎn)生的熱量為：
Q=I2Rt=(
BLv
2
(R+r)
)2?R?
1
4
?2πR0
v
=
B2L2vπRR0
4(R+r)2

答：（1）金屬棒到達(dá)底端時(shí)，電阻R兩端的電壓為U=
BLR
gR0
R+r
；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量為q=
BLR0
R+r
；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量為Q=
B2L2vπRR0
4(R+r)2
．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，突出的重點(diǎn)在于第3問(wèn)，要求電阻產(chǎn)生的熱量，由于做功的外力一定是變力，故無(wú)法表示其做功的多少，也就無(wú)法由能量守恒，或動(dòng)能定理等思路來(lái)做，而往往人都會(huì)朝這個(gè)思路走．這里的決定因素在于交流電有效值的應(yīng)用，這個(gè)植入應(yīng)用使得這個(gè)題稱為難度較大的壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩根長(zhǎng)直平行導(dǎo)軌M、N所在平面與水平面夾角為θ，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直軌道平面．橫跨的導(dǎo)體棒cd因?yàn)槟Σ炼幱陟o止?fàn)顟B(tài)，其質(zhì)量為M．另一根導(dǎo)體棒ab質(zhì)量為m，由靜止開始沿軌道無(wú)摩擦由上方滑下，當(dāng)沿軌道下滑距離為S時(shí)，達(dá)到最大速度．在ab下滑過(guò)程中，cd棒始終保持靜止．兩棒電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．求：
（1）當(dāng)ab棒達(dá)到最大速度后，cd棒受到的摩擦力；
（2）從ab棒開始下滑到達(dá)到最大速度的過(guò)程中，ab與cd棒上產(chǎn)生的總熱量．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

（2009?廣州三模）如圖所示，間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ（足夠長(zhǎng)）被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為m，電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒a、b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過(guò)定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與a棒連連，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體C，整個(gè)裝置放在方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，開始時(shí)使a、b、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋放C，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，C的速度為v1，b的速度為v2．不計(jì)一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）t時(shí)刻a棒兩端的電壓
（2）t時(shí)刻C的加速度值
（3）t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，間距為L(zhǎng)、電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ（足夠長(zhǎng)）被固定在同一水平面內(nèi)，M、P間連接了一電阻R長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、電阻也為R的導(dǎo)體棒ab垂直置于導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過(guò)定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與ab棒連接，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量也為m的物體A，整個(gè)裝置處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．開始時(shí)使導(dǎo)體棒ab和物體A都處于靜止?fàn)顟B(tài)且輕繩拉直，現(xiàn)釋放A，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，物體A下降的高度為h，速度為v．不計(jì)一切摩擦，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g．
求此時(shí)刻：
（1）a、b兩端間的電壓；
（2）物體A的加速度大�。�

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

（2009?江門一模）如圖所示，間距為L(zhǎng)=lm的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平地放置在豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一端接阻值是R=9Ω的電阻，一電阻是r=1Ω，質(zhì)量為m=1Kg的體棒放置在導(dǎo)軌上，在外力的作用下從t=0開始運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間的變化規(guī)律是v=2
t
不計(jì)導(dǎo)軌電阻．求：
（1）t=4s時(shí)的感應(yīng)電流的大小和此時(shí)安培力的功率；
（2）在坐標(biāo)中畫出電流平方與時(shí)間關(guān)系（I2-t），的圖象，并利用圖象計(jì)算t=0到t=4s時(shí)間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量．

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