Question

13．如圖所示，傳送裝置由輪半徑均為R=$\frac{1}{π}$米的主動輪O₂和動輪O₁以及始終繃緊的傳送帶等構(gòu)成，裝置傾角θ=30°，上下兩輪軸心O₁、O₂相距L=10m，A、B兩點為傳送帶與轉(zhuǎn)動輪的相切點．現(xiàn)將一煤塊（可視為質(zhì)點）輕放在傳送帶的A點，經(jīng)傳送帶向上傳送，在B點進入上平臺．已知煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．
（1）若傳送帶始終以v=5m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動，則煤塊從A到B所用的時間為多少？
（2）要想盡快將煤塊由A點運送到B點，則傳送帶的速率至少應(yīng)為多大？
（3）煤塊與傳送帶相對滑動時會在傳送帶上留下黑色的痕跡，那么，當(dāng)傳送帶的速率滿足什么條件時，能使傳送帶上留下的黑色痕跡最長？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出加速度，由運動學(xué)公式求出加速與運動的時間，然后求出總時間．
（2）由勻變速直線運動的速度位移公式求出傳送帶的速度．
（3）應(yīng)用牛頓第二定律、運動學(xué)公式求出初速度的最小速度，然后答題．

解答 解：（1）煤塊從A到B過程，先加速后運動，由牛頓第二定律得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma，
代入數(shù)據(jù)解得：a=2.5m/s²，
煤塊加速的時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{5}{2.5}$=2s，
加速位移為：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×2.5}$=5m，
勻速運動的時間為：t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{10-5}{5}$=1s，
從A到B煤塊的運動時間為：t=t₁+t₂=3s；
（2）要使煤塊盡快由A運動到B點，煤塊應(yīng)一直加速運動，
由v₂²=2aL，
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=5$\sqrt{2}$m/s≈7.07m/s，則傳送帶的速率至少為7.07m/s；
（3）傳送帶的速度越大，黑色痕跡越長，黑色痕跡最長為傳送帶的長度，即：
s=2L+2πR，s=22m，
煤塊由A點運送到B點時間內(nèi)，傳送帶運轉(zhuǎn)的距離：s_總=s+L，s_總=32m，
煤塊由A到B的運動時間為：t₃=$\frac{v}{a}$，
解得：t₃=2$\sqrt{2}$s，
傳送帶運轉(zhuǎn)的速度至少為：v₃=$\frac{{s}_{總}}{{t}_{3}}$，
解得：v₃=8$\sqrt{2}$m/s≈11.3m/s，
則初速度的速率大于11.3m/s時，能使傳送帶上流向的黑色痕跡最長；
答：（1）若傳送帶始終以v=5m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動，則煤塊從A到B所用的時間為3s；
（2）要想盡快將煤塊由A點運送到B點，則傳送帶的速率至少應(yīng)為7.07m/s；
（3）當(dāng)傳送帶的速率v≥11.3m/s時，能使傳送帶上留下的黑色痕跡最長．

點評 本題考查了求運動時間、傳送帶速度問題，分析清楚煤塊的運動過程，應(yīng)用牛頓第二定律、運動學(xué)公式即可正確解題．