Question

14．釣魚(yú)島（The Diaoyu Islands） 歷來(lái)就是中國(guó)的領(lǐng)土，位置在距溫州市約356千米、臺(tái)灣基隆市約190千米．釣魚(yú)群島，由釣魚(yú)島、黃尾島、赤尾島、南小島、北小島等七座島嶼組成，分散于北緯25.40°～26°、東經(jīng)123°～124.34°之間，總面積約6.344平方公里．釣魚(yú)列島周圍海域面積約為17萬(wàn)平方公里，相當(dāng)于5個(gè)臺(tái)灣本島面積．為了監(jiān)控，假設(shè)發(fā)射一顆經(jīng)過(guò)釣魚(yú)島上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星，其角速度為ω，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同．已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω₀，地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g．
（1）求該人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)離地面的高度h．
（2）若某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)釣魚(yú)島的正上方，求它下一次通過(guò)其正上方需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解衛(wèi)星的高度．
（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，釣魚(yú)島隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度與釣魚(yú)島轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在釣魚(yú)島上空．

解答 解：（1）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{ω^2}（R+h）$
地面表面附近萬(wàn)有引力等于重力，得：
$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
聯(lián)立解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}-h$
（2）衛(wèi)星通過(guò)釣魚(yú)島的正上方的時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，故：
ωt-ω₀t=2π
解得：
$t=\frac{2π}{{ω-{ω_0}}}$
答：（1）該人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)離地面的高度h為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{{ω}^{2}}}-h$．
（2）若某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)釣魚(yú)島的正上方，它下一次通過(guò)其正上方需要的時(shí)間為$\frac{2π}{{ω-{ω_0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，第（2）問(wèn)對(duì)于釣魚(yú)島與衛(wèi)星的角速度大小關(guān)系比較，關(guān)鍵是抓住角度關(guān)系．