Question

4．如圖所示，設(shè)小球沿彎曲軌道從靜止滑下后能滑上圓環(huán)O，圓環(huán)部分有一個(gè)對(duì)稱(chēng)于通過(guò)環(huán)體中心豎直線(xiàn)的缺口A(yíng)B，已知圓環(huán)的半徑為R，缺口的圓心角∠AOB=2α=106°，忽略一切摩擦．（sin37°=0.5，cos37°=0.8）問(wèn)：
（1）若小球從過(guò)圓環(huán)的中心O的等高線(xiàn)處（h₀=R）由靜止開(kāi)始滑下，則在最低點(diǎn)小球?qū)�軌道的壓力是多少�?br />（2）為使小球恰好能沿圓環(huán)到達(dá)A點(diǎn)，小球滑下的高度h₁又為多少？
（3）為使小球飛離圓環(huán)O缺口并重新回到圓環(huán)，小球滑下的高度h₂又為多少？

Answer 1

分析 （1）研究小球從開(kāi)始到最低點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求出通過(guò)最低點(diǎn)的速度，在最低點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）小球恰好能沿圓環(huán)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，只受重力，由重力的徑向分力提供向心力，由此求得小球通過(guò)A點(diǎn)的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求小球滑下的高度h₁．
（3）小球離開(kāi)圓環(huán)O缺口并重新回到圓環(huán)的過(guò)程做斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式求出小球通過(guò)A點(diǎn)的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求小球滑下的高度h₂．

解答 解：（1）小球從開(kāi)始到最低點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
    mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
結(jié)合 h₀=R，解得 N=3mg
（2）設(shè)小球恰好能沿圓環(huán)到達(dá)A點(diǎn)為v_A．
在A(yíng)點(diǎn)，有 mgcosα=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgh₁=mgR（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可得 h₁=2.2R
（3）小球離開(kāi)圓環(huán)O缺口并重新回到圓環(huán)的過(guò)程做斜拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)為v_A′．
則得 
  2Rsinα=v_A′cosα•t
  t=$\frac{2{v}_{A}′sinα}{g}$
聯(lián)立解得 v_A′=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgh₂=mgR（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$
可得 h₂=$\frac{61}{25}$R
答：
（1）若小球從過(guò)圓環(huán)的中心O的等高線(xiàn)處（h₀=R）由靜止開(kāi)始滑下，則在最低點(diǎn)小球?qū)�軌道的壓力�?mg．
（2）為使小球恰好能沿圓環(huán)到達(dá)A點(diǎn)，小球滑下的高度h₁又為2.2R．
（3）為使小球飛離圓環(huán)O缺口并重新回到圓環(huán)，小球滑下的高度h₂又為$\frac{61}{25}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律、斜拋運(yùn)動(dòng)的綜合，解決本題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)動(dòng)的分解法研究斜拋運(yùn)動(dòng)，斜拋運(yùn)動(dòng)水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直向上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合研究．