Question

14．如圖所示，在豎直方向土A，B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上；B、C兩物體廈過細(xì)繩繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A，B的質(zhì)量均為m，斜面傾角為θ=37°，重力加速度為g滑輪的質(zhì)量和摩擦不計(jì)，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．C釋放后沿斜面下滑，當(dāng)A剛要離開地面時(shí)，B的速度最大（sin37=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）從開始到物體A剛要離開地面的過程中，物體C沿斜面下滑的距離；
（2）C的質(zhì)量；
（3）A剛離開地面時(shí)，C的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律根據(jù)物體A和B所受彈力大小求得物體C沿斜面下滑的距離；
（2）根據(jù)牛頓可知，當(dāng)A剛要離開地面時(shí)B的速度最大，此時(shí)B所受合力為零，根據(jù)平衡求得C的質(zhì)量；
（3）由于彈簧但長(zhǎng)和壓縮時(shí)的彈力相等，故在B上升的整個(gè)過程中彈簧彈力做功為零，根據(jù)動(dòng)能定理求得A剛離開地面時(shí)C的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)開始時(shí)彈簧壓縮的長(zhǎng)度為x_B，由題意有：
$k{x}_{B}=mg\\;\\;\\;\\;\\;\\;①$         ①
設(shè)當(dāng)物體A剛剛離開地面時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為x_A，有
kx_A=mg            ②
當(dāng)物體A剛離開地面時(shí)，物體B上升的距離及物體C沿斜面下滑的距離為：
$h={x}_{A}+{x}_{B}=\frac{2mg}{k}$
（2）物體A剛離開地面時(shí)，以B為研究對(duì)象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kxA，細(xì)線的拉力T三個(gè)力的作用，設(shè)物體B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)B有：
T-mg-kx_A=ma          ③
對(duì)C有：m_Cgsinθ-T=m_Ca       ④
當(dāng)B獲得最大速度時(shí)，有：a=0      ⑤
由②③④⑤式解得：${m}_{C}=\frac{10}{3}m$
（3）根據(jù)動(dòng)能定理有：
對(duì)于C有：m_cghsinθ-W_T=E_kc-0        ⑥
對(duì)于B有：W_T-m_Bgh+W_彈=E_kB-0          ⑦
其中彈簧彈力先做正功后做負(fù)功，總功為零，W_彈=0           ⑧
BC的質(zhì)量速度大小相等，故其動(dòng)能大小之比為其質(zhì)量大小之比即：$\frac{{E}_{kC}}{{E}_{kB}}=\frac{10}{3}$          ⑨
由⑥⑦⑧⑨解得${E}_{kC}=\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$
答：（1）從開始到物體A剛要離開地面的過程中，物體C沿斜面下滑的距離為$\frac{2mg}{k}$；
（2）C的質(zhì)量為$\frac{10}{3}m$；
（3）A剛離開地面時(shí)，C的動(dòng)能為$\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，然后結(jié)合機(jī)械能守恒定律和胡克定律多次列式求解分析，較難．