Question

18．已知地球半徑為R，質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在地面上的重力為G（忽略地球自轉(zhuǎn)的影響），它在距地面高度h=2R的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖，則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． 速度為v=$\sqrt{\frac{GR}{m}}$
• B． 周期為T(mén)=6π$\sqrt{\frac{3mR}{G}}$
• C． 動(dòng)能為$\frac{1}{18}$GR
• D． 相對(duì)于地面的重力勢(shì)能為2GR

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得出地球的質(zhì)量，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，去求解線速度和周期．根據(jù)動(dòng)能的定義式和勢(shì)能的定義式計(jì)算動(dòng)能和重力勢(shì)能．

解答 解：A、設(shè)引力常量為G₀，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力${G}_{0}\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，$g=\frac{G}{m}$．得M=$\frac{G{R}^{2}}{{G}_{0}m}$．再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力${G}_{0}\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{{G}_{0}M}{r}}$=$\sqrt{\frac{G{R}^{2}}{3Rm}}$=$\sqrt{\frac{GR}{3m}}$．故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力${G}_{0}\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{{G}_{0}M}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3R）^{3}}{\frac{G{R}^{2}}{m}}}$=$6π\(zhòng)sqrt{\frac{3mR}{G}}$．故B正確．
C、動(dòng)能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m\frac{GR}{3m}$=$\frac{1}{6}GR$．故C錯(cuò)誤．
D、在距地面高度等于2倍于地球半徑R的軌道上的重力等于萬(wàn)有引力F=${G}_{0}\frac{Mm}{（3R）^{2}}=\frac{G}{9}$，所以重力勢(shì)能為E_p=F•2R=$\frac{2}{9}GR$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，以及萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$．