Question

5．如圖所示，質量均為m的物體B、C分別與輕質彈簧的兩端相栓接，將它們放在光滑水平面上，靜止時彈簧的形變量為x₀．將質量也為m的物體A從B的正上方某點由靜止釋放，A與B相碰．已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內，不計空氣阻力．求：
（1）彈簧的勁度系數k；
（2）若A與B相碰后粘連在一起開始做簡諧運動，當A與B第一次運動到最高點時，C對地面的壓力恰好為零，求C對地面壓力的最大值；
（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運動，且當B第一次運動到最高點時，C對地面的壓力也恰好為零．已知A與B相碰后彈簧第一次恢復原長時B的速度大小為v=$\sqrt{1.5g{x}_{0}}$，求相碰后A第一次運動達到的最高點與開始靜止釋放點之間的距離．

Answer 1

分析 （1）對B進行受力分析，由平衡條件求出彈簧的勁度系數．
（2）根據簡諧運動特點求出回復力，然后應用平衡條件、牛頓第三定律求出C對地面的最大壓力．
（3）對A應用機械能守恒定律求出A、B碰撞前A的速度，由動量守恒定律求出碰撞后A、B的速度，對A與B組成的系統(tǒng)、B與C組成的系統(tǒng)、對A、對B應用機械能守恒定律，分析答題．

解答 解：（1）物體B靜止時，彈簧形變量為x₀，彈簧的彈力F=mg，根據胡克定律得：F=kx₀，即有kx₀=mg，解得，彈簧的勁度系數k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）A與B碰后一起做簡諧運動到最高點時，物體C對地面的壓力為0，則：
對C，彈簧彈力：F_彈=mg
對A、B，回復力最大：F_回=2mg+F_彈=3mg
由簡諧運動的對稱性，可知A與B碰后一起做簡諧運動到最低點時，回復力也最大，為F_回=3mg，此時物體C對地面的壓力最大，對物體A、B有：F_彈′-2mg=3mg，
則彈簧彈力：F_彈′=5mg
對物體C，設地面對物體C的彈力為N，則：N=5mg+mg=6mg，
由牛頓第三定律可知，C對地面最大的壓力大�。篘′=N=6mg．
（3）設物體A釋放時A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v₁．
對物體A，從開始下滑到A、B相碰前的過程，由機械能守恒定律得：
 mgx=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₁=$\sqrt{2gx}$…①
設A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v₂，A與B發(fā)生碰撞的過程動量守恒，
以碰前A的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：mv₁=（m+m）v₂，
解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₁…②，
物體B靜止時彈簧的形變量為x₀，設彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復原長的過程，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+m）v₂²+E_P=$\frac{1}{2}$（m+m）v²+（m+m）gx₀…③，
當彈簧第一次恢復原長時A、B恰好分離，設分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₁．
對物體A，從與B分離到最高點的過程，機械能守恒，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=mgx₁
解得：x₁=1.5x₀，
對物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運動到最高點時速度為0，
物體C恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為x₀，彈簧的彈性勢能也為E_P．從A、B分離到B運動到最高點的過程，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=mgx₀+E_P，
解得：E_P=$\frac{1}{4}mg{x}_{0}$…④，
由①②③④解得：x=9x₀，
由幾何關系可得，物體A第一次運動達到的最高點與開始靜止釋放點之間的距離：
  d=x-x₁-x₀=6.5x₀．           
答：
（1）彈簧的勁度系數k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）C對擋板D壓力的最大值為6mg；
（3）碰后A第一次運動達到的最高點與開始靜止釋放點之間的距離為6.5x₀．

點評 本題的關鍵是認真分析物理過程，把復雜的物理過程分成幾個小過程并且找到每個過程遵守的物理規(guī)律，列出相應的物理方程解題．是一道全面考查動量守恒、機械能守恒的比較困難又容易出錯的好題．