Question

9．如圖所示，光滑直桿AB長為L，B端固定一根勁度系數(shù)為k，原長為L₀的輕彈簧，質量為m的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接．OO′為過B點的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．重力加速度為g．
（1）當小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉動時，彈簧伸長量為△L，求勻速轉動的角速度ω；
（2）若θ=30°，移去彈簧，當桿繞OO'軸以角速度ω₀=$\sqrt{\frac{g}{L}}$勻速轉動時，小球恰好在桿上某一位置隨桿在水平面內(nèi)勻速轉動，求小球離B點的距離．

Answer 1

分析 （1）設彈簧伸長△l₂時，對小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解；
（2）當桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉動時，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解即可．

解答 解：（1）設彈簧伸長時△L，球受力如圖所示，
水平方向上有：${F}_{N}sinθ+k△Lcosθ=m{ω}^{2}（{L}_{0}+△L）cosθ$
豎直方向上有：F_Ncosθ-k△Lsinθ-mg=0
解得：ω=$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$
（2）當桿繞OO'軸以角速度ω₀勻速轉動時，設小球距離B點L₀，有：
mgtanθ=mω²rcosθ
解得：$r=\frac{2}{3}L$
答：（1）當小球隨光滑直桿一起繞OO'軸勻速轉動時，彈簧伸長量為△L，勻速轉動的角速度ω為$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$；
（2）小球離B點的距離為$\frac{2}{3}L$

點評 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，要明確小球做勻速轉動時，靠合力提供向心力，由靜止釋放時，加速度為零時速度最大．