Question

17．如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長(zhǎng)方形區(qū)域中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xOy平面向外．O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)．己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，最先從磁場(chǎng)上邊界中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{3}$．不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則（　�。�

• A． 粒子的射入磁場(chǎng)的速度大小v=$\frac{Bqa}{m}$
• B． 粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2a
• C． 長(zhǎng)方形區(qū)域的邊長(zhǎng)滿足關(guān)系$\frac{a}$=$\sqrt{3}$+1
• D． 長(zhǎng)方形區(qū)域的邊長(zhǎng)滿足關(guān)系$\frac{a}$=2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于帶電粒子從O點(diǎn)射出的方向不同而速度相同，則帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同為r=$\frac{mv}{Bq}$．而最主要的問題是最短時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間的確定，由于粒子是順時(shí)針偏轉(zhuǎn)，所以當(dāng)半徑小于a時(shí)，最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{T}{2}$，所以不是本題所求情況，則半徑必大于a，那么最短時(shí)間只能是沿y軸正方向射出的粒子，畫出軌跡由幾何關(guān)系求出半徑，從而就能求出速度大�。�隨著速度方向逐漸向右傾斜，要使粒子在矩形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則只能是軌跡恰與上邊界相切又能達(dá)到下邊界．畫出軌跡由幾何關(guān)系就能求出a與b的關(guān)系．

解答 解：AB、最先從磁場(chǎng)上邊界中飛出的粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最小，對(duì)應(yīng)的圓弧最短，可以判斷出是
沿y軸方向入射的粒子；其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲，則由題意偏轉(zhuǎn)角為$θ=\frac{t}{T}×360°=30°$，由幾何關(guān)系
得到：r=2a，根據(jù)半徑公式：$r=\frac{mv}{Bq}$，所以$v=\frac{2Bqa}{m}$，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．
CD、在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是與磁場(chǎng)上邊緣相切又恰恰到達(dá)b點(diǎn)圓弧，如圖乙所
示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意偏轉(zhuǎn)角為$θ′=\frac{t}{T}×360°=120°$，由幾何關(guān)系有：b=2rcos30°
將以上的r=2a代入該式得：$\frac{a}=2\sqrt{3}$．所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 由于帶電粒子從O點(diǎn)射出的方向不同而速度相同，則帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，本題的難點(diǎn)在于最小和最大時(shí)間時(shí)間的速度方向的確定，時(shí)間的大小是由偏轉(zhuǎn)角決定．由左手定則粒子是順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，顯然沿y軸正方向射出的粒子偏轉(zhuǎn)角最小，最困難的是最大時(shí)間的確定若粒子順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度越大，則偏轉(zhuǎn)時(shí)間最長(zhǎng)，顯然若粒子能達(dá)到x軸的話時(shí)間最長(zhǎng)，則確定最長(zhǎng)時(shí)間是恰恰與上邊界相切又恰到達(dá)b點(diǎn)的粒子符合條件．