Question

17． 傾角為θ的斜面上只有AB段粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=2tanθ，其余部分光滑．AB段長為2L，有N個(gè)相同的小木塊（單獨(dú)考慮每個(gè)小木塊時(shí)，視為質(zhì)點(diǎn)）沿斜面靠在一起，但不粘接，總長為L，每一個(gè)小木塊的質(zhì)量均為m，將它們由靜止釋放，釋放時(shí)下端距A為2L，B到斜面底端足夠長．求：
（1）從第1個(gè)木塊到第N個(gè)木塊通過A點(diǎn)的過程中，第幾個(gè)木塊通過A點(diǎn)的速度最大，最大速度為多少．
（2）木塊在斜面上滑動(dòng)的過程中，第k-1個(gè)木塊和第k+1個(gè)木塊對(duì)第k個(gè)木塊做的總功．
（3）第k個(gè)木塊通過B點(diǎn)的速度．（題中1＜k＜N）

Answer 1

分析 （1）令有n個(gè)木塊過A點(diǎn)速度最大v_m，則μnmgcosθ=Nmgsinθ，求出n與N的關(guān)系，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解最大速度；
（2）全部木塊剛過A點(diǎn)時(shí)速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得v，而木塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)，只有在通過A點(diǎn)的過程中才可能有相互作用力，設(shè)所求功為W．對(duì)從開始到所有木塊剛通過A點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得W；
（3）從所有木塊剛過A點(diǎn)到第k個(gè)木塊剛到B點(diǎn)，對(duì)第k個(gè)木塊運(yùn)用動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：木塊過A點(diǎn)的位移為x時(shí)，摩擦力為：f=μ$\frac{N}{L}$mgcosθ，
摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
（1）令有n個(gè)木塊過A點(diǎn)速度最大v_m，則有：μnmgcosθ=Nmgsinθ
解得：n=$\frac{N}{2}$，即一半木塊過A點(diǎn)速度最大，由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}$Nmv²=Nmg•$\frac{5}{2}$Lsinθ$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$μN(yùn)mgcosθ•$\frac{L}{2}$，
解得：v_m=$\sqrt{4.5Lgsinθ}$；
（2）全部木塊剛過A點(diǎn)時(shí)速度為v，則有；
Nmgsinθ•L-$\frac{1}{2}$μN(yùn)mggcosθ•L=$\frac{1}{2}$Nmv²-0，
解得：v=$\sqrt{4Lgsinθ}$，
而木塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)，只有在通過A點(diǎn)的過程中才可能有相互作用力，
設(shè)所求功為W．對(duì)從開始到所有木塊剛通過A點(diǎn)的過程，對(duì)第k個(gè)木塊有：
mg•3Lsinθ-μmgcosθ（N-K）$\frac{L}{N}$+W=mv²-0，
解得：W=$\frac{N-2K}{N}$mgLsinθ；     
（3）從所有木塊剛過A點(diǎn)到第k個(gè)木塊剛到B點(diǎn)，對(duì)第k個(gè)木塊，
由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²=（mgsinθ-μmgcosθ）（k$\frac{L}{N}$+L），
解得：v_B=$\sqrt{\frac{2（N-K）Lsinθ}{N}}$；
答：（1）從第1個(gè)木塊到第N個(gè)木塊通過A點(diǎn)的過程中，第$\frac{N}{2}$個(gè)木塊通過A點(diǎn)的速度最大，最大速度為：$\sqrt{4.5Lgsinθ}$．
（2）木塊在斜面上滑動(dòng)的過程中，第k-1個(gè)木塊和第k+1個(gè)木塊對(duì)第k個(gè)木塊做的總功為$\frac{N-2K}{N}$mgLsinθ．
（3）第k個(gè)木塊通過B點(diǎn)的速度為$\sqrt{\frac{2（N-K）Lsinθ}{N}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能選取合適的過程運(yùn)用動(dòng)能定理求解，難度適中．