Question

3．設地球繞太陽近似作勻速圓周運動，已知軌道半徑為R₀，公轉周期約為T₀=365天；月球繞地球近似作勻速圓周運動，已知軌道半徑為R，周期約為T=27.3天．另據(jù)勘測結果知道，在月球的永暗面存在著大量常年以固態(tài)形式蘊藏的水冰．根據(jù)天文觀測，月球半徑R_月為1738km，地球半徑R_地約為6400km，月球表面的重力加速度約為地球表面的重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球表面在陽光照射下的溫度可達127℃，已知此溫度下水蒸氣分子的平均速率達到v₀=2000m/s．已知萬有引力常量為G，地球表面的重力加速度取g=10m/s²，則以下說法正確的是（　�。�

• A． 根據(jù)開普勒第三定律知：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}}$
• B． 根據(jù)題給信息可知在月球表面暗面有冰，陽面有水
• C． 地心到月心之間的距離數(shù)量級為10¹⁰m
• D． 根據(jù)題給數(shù)據(jù)和符號可以計算出太陽、地球、月球的質(zhì)量

Answer 1

分析 由萬有引力做向心力得到水分子速度大于月球第一宇宙速度，進而得到月球表面無水；然后再由月球繞地球運動，萬有引力做向心力得到地月距離；并根據(jù)星體表面萬有引力即重力求得星體質(zhì)量．

解答 解：A、開普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k只與中心天體有關；故對同一中心天體的不同衛(wèi)星而言才有k相同，而月球運動的中心天體時地球，地球公轉的中心天體是太陽，所以，k不同，故A錯誤；
B、取月球表面質(zhì)量為m的某水分子，因為月球的第一宇宙速度$v=\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}=1700m/s＜{v}_{0}$，所以，這些水分子會象衛(wèi)星一樣繞月球轉動而不落到月球表面，使月球表面無水，故B錯誤；
C、月球繞地球做圓周運動，萬有引力做向心力，即$\frac{G{M}_{地}{M}_{月}}{{r}^{2}}={M}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，所以，地心到月心之間的距離$r=\root{3}{\frac{G{M}_{地}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{g{{R}_{地}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=3.86×10⁸m，故C錯誤；
D、由地球表面萬有引力即重力$\frac{G{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$可求得地球質(zhì)量，同理可求得月球質(zhì)量；再根據(jù)地球公轉時萬有引力做向心力$\frac{G{M}_{太}{M}_{地}}{{{R}_{0}}^{2}}={M}_{地}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}{R}_{0}$可求得太陽質(zhì)量，故D正確；
故選：D．

點評 天體運動，衛(wèi)星運動一般都是利用合外力為萬有引力，然后根據(jù)向心力的變化得到運動狀態(tài)的變化或由萬有引力做向心力得到運動速度、周期等與半徑的關系．