Question

20．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中y＞0的范圍內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向內(nèi)且范圍足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在y軸上S點(diǎn)（0，d）處有一粒子源，向坐標(biāo)平面內(nèi)各個(gè)方向等概率的發(fā)射速率均為v的帶電粒子，粒子電量均為-q，質(zhì)量均為m．已知速度沿+y方向的帶電粒子恰好不會(huì)離開磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子從x軸上出射的區(qū)域范圍；
（3）能離開磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)與粒子源發(fā)射粒子總數(shù)的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)沿正y方向的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡要得出圓的半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）由題意可找出粒子能從x軸上射出的可能情況，由幾何關(guān)系可求得粒子的出射范圍；
（3）根據(jù)出射粒子的夾角可求得能射出粒子個(gè)數(shù)所占據(jù)的比值；

解答 解：（1）沿+y方向的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡可如圓1所示，由圖知r=d                                     
又qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                                                    
聯(lián)立得B=$\frac{mv}{qd}$                                                 
（2）如圖圓2和圓3中A和B點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)粒子從x軸上出射的右端點(diǎn)和左端點(diǎn)
圖中SA=2r，
故 OA=$\sqrt{S{A}^{2}-O{S}^{2}}$
得OA=$\sqrt{3}$d
由圖易得OB=d
故粒子從x軸上的出射范圍為-d＜x$≤\sqrt{3}$
（3）介于圓1和圓3之間的粒子可以從x軸出射
由圖可知圓1對(duì)應(yīng)粒子的入射速度沿+y方向                            
圓3對(duì)應(yīng)粒子的入射速度與+y方向夾角為180°                    
故所求比值為$\frac{180°}{360°}$=$\frac{1}{2}$
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\frac{mv}{qd}$；
（2）粒子從x軸上出射的區(qū)域范圍-d＜x$≤\sqrt{3}$；
（3）能離開磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)與粒子源發(fā)射粒子總數(shù)的比值為1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意明確多種粒子都具有相同的半徑，入射方向不同，則可得出對(duì)應(yīng)的軌跡圓的所有情況，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．