Question

9．如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，即F=-kx，其中k是由系統(tǒng)本身特性決定的線性回復(fù)力常數(shù)，那么質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡諧運(yùn)動(dòng)．
（1）圖1所示為一理想單擺，擺球的質(zhì)量為m，擺長為L．重力加速度為g．請通過計(jì)算說明該單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的線性回復(fù)力常數(shù)k=？
（2）單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的過程中，由于偏角很小，因此可以認(rèn)為擺球沿水平直線運(yùn)動(dòng)．
如圖2所示，質(zhì)量為m的擺球在回復(fù)力F=-kx作用下沿水平的x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，若振幅為A，在平衡位置O點(diǎn)的速度為v_m，試證明：$\frac{1}{2}$mv_m²=$\frac{1}{2}$kA²．
（3）如圖3所示，兩個(gè)相同的理想單擺均懸掛在P點(diǎn)．將B球向左拉開很小的一段距離由靜止釋放，B球沿水平的x軸運(yùn)動(dòng)，在平衡位置O點(diǎn)與靜止的C球發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞后B、C粘在一起向右運(yùn)動(dòng)．已知擺球的質(zhì)量為m，擺長為L．釋放B球時(shí)的位置到O點(diǎn)的距離為d．重力加速度為g．求B、C碰撞后它們沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，則可得出回復(fù)力的大小，由回復(fù)力公式可求得回復(fù)力常數(shù)；
（2）分析外力做功情況，由動(dòng)能定理即可證明；
（3）由動(dòng)量守恒求得碰后的速度，再由動(dòng)能定理可求得最大距離．

解答 解：（1）如圖所示，以平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿水平方向建立x軸．

設(shè)當(dāng)偏角為θ時(shí)，位移為x．
重力垂直繩方向的分力提供回復(fù)力
F=mgsinθ
當(dāng)θ很小時(shí)  sinθ=$\frac{x}{L}$
可得  F=$\frac{mg}{L}x$
所以  k=$\frac{mg}{L}$
（2）單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的過程中，只有線性回復(fù)力做功．
擺球從最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過程中，由動(dòng)能定理
W=$\frac{1}{2}$mv_m²-0
其中 W=$\frac{{K}_{A}}{2}$A=$\frac{1}{2}$k_A²
所以$\frac{1}{2}$mv_m²=$\frac{1}{2}$kA²
（3）B球向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中  $\frac{1}{2}$kd²=$\frac{1}{2}$mv₁²
B、C碰撞過程中動(dòng)量守恒  mv₁=2mv₂
B、C從O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)的過程中 $\frac{1}{2}•2mv$₂²=$\frac{1}{2}k′d{′}^{2}$
其中k′=2k
可得d′=$\fracthof4dq{2}$  
答：（1）該單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的線性回復(fù)力常數(shù)k為$\frac{mg}{L}$；
（2）證明如上；
（3）最大距離為$\fracszqfw9n{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合單擺考查了動(dòng)量守恒定律及動(dòng)能定理，要注意正確分析題意，明確物理規(guī)律的應(yīng)用．