Question

15．如圖甲所示，空間存在一范圍足夠大、方向垂直于豎直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．讓質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點O沿xOy平面入射．不計粒子重力，重力加速度為g．
（1）若該粒子沿y軸負(fù)方向入射后，恰好能經(jīng)過x軸上的A（a，0）點，求粒子速度v₀的大�。�
（2）若該粒子以速度v沿y軸負(fù)方向入射的同時，一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標(biāo)．
（3）如圖乙所示，在此空間再加入沿y軸負(fù)方向、大小為E的勻強(qiáng)電場，讓該粒子改為從O點靜止釋放，研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)將做周期性運動，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一時刻，粒子速度的水平分量v_x與其所在位置的y軸坐標(biāo)絕對值的關(guān)系為v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子釋放的同時，另有一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時間t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出半徑，根據(jù)圓周運動公式就出粒子的速度；
（2）根據(jù)相遇時間，流出粒子運動軌跡所對的圓心角，根據(jù)幾何知識求出此時粒子的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)動能定理求出此時粒子在豎直方向的位移，再求出豎直方向總位移，最后求出小球拋出點的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知，粒子做勻速圓周運動的半徑r₁，有${r}_{1}=\frac{a}{2}$，
洛倫茲力提供向心力，有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{o}}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${v_0}=\frac{qBa}{2m}$，
（2）洛倫茲力提供向心力，又有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得${r}_{2}=\frac{mv}{qB}$，
粒子做勻速圓周運動的周期T，有$T=\frac{2πm}{qB}$，
則相遇時間為$t=\frac{5πm}{6qB}=\frac{5}{12}T$，
在這段時間內(nèi)粒子轉(zhuǎn)動的圓心角θ，有θ=150°，
如圖3所示，相遇點的縱坐標(biāo)絕對值為${r}_{2}sin30°=\frac{mv}{2qB}$．

小球拋出點的縱坐標(biāo)為$y=\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）相遇時${t}^{'}=\frac{3πm}{qB}=\frac{3}{2}T$，
由對稱性可知相遇點在第二個周期運動的最低點
設(shè)粒子運動到最低點時，離x軸的距離y_m，水平速度為v_x．
由動能定理，有$qE{y}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$，
聯(lián)立解得：${y}_{m}=\frac{2mE}{q{B}^{2}}$，
故小球拋出點的縱坐標(biāo)為$y=\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．
答：（1）若該粒子沿y軸負(fù)方向入射后，恰好能經(jīng)過x軸上的A（a，0）點，求粒子速度v₀的大小為$\frac{qBa}{2m}$．
（2）若該粒子以速度v沿y軸負(fù)方向入射的同時，一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標(biāo)$\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）如圖乙所示，在此空間再加入沿y軸負(fù)方向、大小為E的勻強(qiáng)電場，讓該粒子改為從O點靜止釋放，研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)將做周期性運動，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一時刻，粒子速度的水平分量v_x與其所在位置的y軸坐標(biāo)絕對值的關(guān)系為v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子釋放的同時，另有一不帶電的小球從x軸上方某一點平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時間t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球拋出點的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．

點評 本題考查了帶點粒子在復(fù)合場中的運動，過程較復(fù)雜，關(guān)鍵理清粒子的運動軌跡，結(jié)合動能定理，洛倫茲力和電場力知識進(jìn)行解決．粒子在磁場中運動時，關(guān)鍵要根據(jù)時間和周期的關(guān)系確定圓心角．