Question

15．如圖甲所示，間距為l=0.5 m的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌所在平面與水平面的夾角θ=37°，導(dǎo)軌上端接有一個(gè)R=0.5Ω的電阻，導(dǎo)軌所在平面可劃分為I、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域，兩導(dǎo)軌間長(zhǎng)度為s₁=l m的矩形區(qū)域Ⅰ中存在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示，長(zhǎng)度為s₂=3m的區(qū)域Ⅱ中無磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅲ中存在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀=1 T．在t=0時(shí)刻，質(zhì)量m=l kg且與導(dǎo)軌垂直的金屬棒ab從區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ的交界處靜止滑下，當(dāng)金屬棒到達(dá)區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ的交界處CD時(shí)，區(qū)域Ⅰ中的磁場(chǎng)突然撤去，此后金屬棒恰好保持勻速運(yùn)動(dòng)．邊界CD上方的導(dǎo)軌光滑，邊界CD下方的導(dǎo)軌粗糙，不計(jì)金屬棒與導(dǎo)軌的電阻，金屬棒在下滑過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金屬棒在到達(dá)邊界CD前的運(yùn)動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流大小I；
（2）金屬棒在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）金屬棒與區(qū)域Ⅲ中的兩導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再由閉合電路歐姆定律求出回路的感應(yīng)電流；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出金屬棒在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出電阻上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）金屬棒在區(qū)域Ⅲ做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合受力平衡求出μ

解答 解：（1）由B-t圖象可知，區(qū)域Ⅰ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5t，金屬棒在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律得回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}l{s}_{1}^{\;}$=0.5×0.5×1V=0.25V
所以，回路中的感應(yīng)電流$I=\frac{E}{R}=\frac{0.25}{0.5}A=0.5A$
（2）金屬棒在區(qū)域Ⅱ中中運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)其進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得
mgsinθ=ma，
解得$a=gsinθ=6m/{s}_{\;}^{2}$
由${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，得t=1s
因此，電阻產(chǎn)生的焦耳熱$Q=\frac{{E}_{\;}^{2}}{R}t=\frac{0.2{5}_{\;}^{2}}{0.5}×1=0.125J$
（3）金屬棒到達(dá)區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ交界處時(shí)的速度大小v=at=6m/s，此后以該速度勻速運(yùn)動(dòng)，金屬棒所受安培力大小$F={B}_{0}^{\;}IL=\frac{{B}_{0}^{2}{l}_{\;}^{2}v}{R}=3N$，方向沿導(dǎo)軌向上
金屬棒在區(qū)域Ⅲ中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)其進(jìn)行受力分析，有：
mgsinθ=F+μmgcosθ
解得μ=0.375
答：（1）金屬棒在到達(dá)邊界CD前的運(yùn)動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流大小I為0.5A；
（2）金屬棒在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q為0.125J；
（3）金屬棒與區(qū)域Ⅲ中的兩導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.375

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)質(zhì)是電磁感應(yīng)中電路問題和力學(xué)問題的綜合，關(guān)鍵是運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律解題求解電動(dòng)勢(shì)和電流，要求正確分析受力情況，運(yùn)用平衡條件列方程，關(guān)鍵要正確推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式．