Question

5．如圖所示，“∠”形擋板ABC夾角θ為60°且BC板水平，AB板上有一個小孔D，BD間的距離為b，一水平放置的平行板電容器板間距離為d，板長L=$\sqrt{3}$d，下板的右端緊靠D孔．現有質量為m，電荷量為+q的粒子組成的粒子束，以速度v₀從電容器的中央水平射入勻強電場，并恰好射入D孔（不計粒子所受的重力）．
（1）求在D點射出電場時粒子的速度；
（2）如果在AB和BC兩板所夾的區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，要使從小孔D飛入的這些粒子打不到BC板，求磁場的磁感應強度B₁的最小值；
（3）如果在AB和BC兩擋板間，只有一部分區(qū)域存在垂直于紙面向里的勻強磁場．要使從小孔D飛入的這些粒子經過磁場偏轉后能垂直打到水平擋板BC上（之前與擋板沒有碰撞），求磁場的感應強度B₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據類平拋運動知識求粒子離開電場時的速度；
（2）要使粒子不打在BC板上，根據幾何關系知粒子運動軌跡與BC板相切，由幾何關系求出粒子相切時的軌道半徑，再根據半徑公式求得滿足條件的磁場最小值；
（3）粒子從射入電場后做從D點開始進入磁場，粒子在進入磁場后，根據左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板BC板上，根據幾何關系作出粒子可能的運動軌跡，再根據臨界條件求出滿足條件的半徑的臨界值，根據半徑公式求得磁場的最小值即可．

解答 解：（1）粒子在勻強電場中做類平拋運動，得

$\sqrt{3}d={v}_{0}t$      ①
$\frac4jischk{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$        ②
v_y=at     ③
設速度偏向角為α，則有：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以α=30°
所以$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，方向與AB板垂直．
（2）如圖所示，進入磁場后，根據左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子不打到擋板BC，則粒子的圓周軌道恰與BC板相切．

根據幾何關系得：（r₁+b）sin60°=r₁      ④
由軌道半徑公式有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$      ⑤
代入$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，由④⑤兩式得：
B₁的最小值為B_1min=$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$
（3）如圖所示，

粒子從D點入射后做勻速直線運動從D點開始進入磁場，粒子在進入磁場后，根據左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板BC，則粒子需偏轉300°后從E射出，做勻速直線運動垂直打到BC．
粒子作圓周運動時，洛倫茲力提供向心力，即
Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{r}$       ⑥
可得B=$\frac{mv}{qr}$        ⑦
要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運動的軌跡恰好跟兩擋板相切，如圖所示，根據對稱性圓周運動的圓心O、交點G位于∠ABC的角平分線上，則由幾何關系可得：
CDD′F是邊長為r的正方形．則在三角形BOF中，由幾何知識得：
$\frac{r}{tan30°}=a+r$
解得：$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$
將$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$和$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$代入⑦可得，B_2min=$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$
答：（1）在D點射出電場時粒子的速度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）如果在AB和BC兩板所夾的區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，要使從小孔D飛入的這些粒子打不到BC板，磁場的磁感應強度B₁的最小值為$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$；
（3）如果在AB和BC兩擋板間，只有一部分區(qū)域存在垂直于紙面向里的勻強磁場．要使從小孔D飛入的這些粒子經過磁場偏轉后能垂直打到水平擋板BC上（之前與擋板沒有碰撞），磁場的感應強度B₂的最小值為$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$．

點評 本題主要考查了平拋運動、圓周運動的基本公式的應用，要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運動的軌跡恰好跟兩擋板相切，要求同學們能結合幾何關系求解，難度較大．