Question

5．某矩形線(xiàn)圈，長(zhǎng)ab=40cm，寬ad=20cm，共50匝，磁感強(qiáng)度為0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以300r/min，繞中心軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示．問(wèn)：
（1）若t=0時(shí)線(xiàn)圈恰在中性面位置，寫(xiě)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式，求出當(dāng)t=0.025s時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值．
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值是多少？從圖示位置轉(zhuǎn)動(dòng)90°過(guò)程中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)又是多少？
（3）若線(xiàn)圈的電阻為10Ω，為了使線(xiàn)圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒要提供的機(jī)械能是多少？

Answer 1

分析 線(xiàn)框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生正弦式交變電流，根據(jù)規(guī)律可列出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式，最大值與有效值的$\sqrt{2}$倍；每當(dāng)線(xiàn)框通過(guò)中性面時(shí)，電流方向改變；當(dāng)磁通量為零時(shí)，線(xiàn)框切割速度最大，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)也最大．

解答 解：（1）線(xiàn)圈的轉(zhuǎn)速：n=300r/min=5r/s
線(xiàn)圈的角速度：ω=2π•n=10π rad/s
周期：$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{10π}s=0.2$s
頻率：$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.2}=5$Hz
線(xiàn)圈在圖示位置產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為0，
其最大值為E_m=NBωS=NBωab•bc
代入數(shù)據(jù)解得：E_m=20π V
瞬時(shí)值表達(dá)式：e=E_msinωt=20πsin10πt
當(dāng)t=0.025s時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值：${E}_{t}=20π•sin（10π×0.025）=10\sqrt{2}π$V
（2）電動(dòng)勢(shì)的有效值：$E=\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}=10\sqrt{2}$V
轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}=N\frac{BS}{△t}=N\frac{B•ab•ad}{\frac{1}{4}T}=50×\frac{0.5×0.4×0.4}{\frac{1}{4}×0.2}=40$V
（4）線(xiàn)圈中產(chǎn)生的電流為：$I=\frac{E}{R}=\frac{10\sqrt{2}π}{10}A=\sqrt{2}π$A
1s時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為：Q=I²Rt=${（\sqrt{2}π）}^{2}×10×1=20{π}^{2}$J
所以每秒要提供的機(jī)械能是20π²J
答：（1）若t=0時(shí)線(xiàn)圈恰在中性面位置，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式e=20πsin10πt V，當(dāng)t=0.025s時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值是$10\sqrt{2}π$V．
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值是10$\sqrt{2}$ V，從圖示位置轉(zhuǎn)動(dòng)90°過(guò)程中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)值又是40V；
（3）若線(xiàn)圈的電阻為10Ω，為了使線(xiàn)圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒要提供的機(jī)械能是20π²J

點(diǎn)評(píng) 線(xiàn)框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生正弦式交變電流．而對(duì)于電表讀數(shù)、求產(chǎn)生的熱量均由交變電的有效值來(lái)確定，而涉及到耐壓值時(shí)，則由最大值來(lái)確定．而通過(guò)某一電量時(shí)，則用平均值來(lái)求．