Question

3．探月衛(wèi)星的發(fā)射過程可簡化如下：首先進入繞地球運行的“停泊軌道”，在該軌道的P處通過變速在進入地月“轉(zhuǎn)移軌道”，在快要到達月球時，對衛(wèi)星再次變速，衛(wèi)星被月球引力“俘獲”后，成為環(huán)月衛(wèi)星，最終在環(huán)繞月球的“工作軌道”上繞月飛行（視為圓周運動），對月球進行探測．已知“工作軌道”周期為T，距月球表面的高度為h，月球半徑為R，引力常量為G，忽略其它天體對探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞運動的影響．
（1）要使探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”，應(yīng)增大速度還是減小速度？
（2）求探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞的線速度大��；
（3）求月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 要使探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”，應(yīng)減小速度做近心運動．
根據(jù)線速度與軌道半徑和周期的關(guān)系直接得到探月衛(wèi)星線速度的大�。�
月球?qū)μ皆滦l(wèi)星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，
“近月衛(wèi)星”的環(huán)繞速度為月球的第一宇宙速度v₁，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解以上二式可得月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）要使探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”，應(yīng)減小速度做近心運動．
（2）根據(jù)線速度與軌道半徑和周期的關(guān)系可知探月衛(wèi)星線速度的大小為$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
（3）設(shè)月球的質(zhì)量為M，探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m，月球?qū)μ皆滦l(wèi)星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，
所以有：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
月球的第一宇宙速度v₁等于“近月衛(wèi)星”的環(huán)繞速度，設(shè)“近月衛(wèi)星”的質(zhì)量為m′，則有：
$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
由以上兩式解得：${v}_{1}=\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
答：（1）要使探月衛(wèi)星從“轉(zhuǎn)移軌道”進入“工作軌道”，應(yīng)減小速度．
（2）探月衛(wèi)星在“工作軌道”上環(huán)繞的線速度大小為$\frac{2π（R+h）}{T}$．
（3）月球的第一宇宙速度為$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力這個關(guān)系，要能根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式，要知道“近月衛(wèi)星”的環(huán)繞速度為月球的第一宇宙速度．