Question

3．如圖所示，與質(zhì)量為m=2kg的小物塊初速為零的輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上的A點(diǎn)，隨傳送帶運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，小物塊從C點(diǎn)沿圓弧切線進(jìn)入豎直的半圓軌道恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓弧半徑R=1.5m，軌道最低點(diǎn)為D，D點(diǎn)距水平面的高度h=5m．小物塊離開D點(diǎn)后（只有D點(diǎn)下區(qū)域有風(fēng)），由于受到恒定的水平風(fēng)力的作用，球豎直地落入距擊球點(diǎn)水平距離為L=3.75m的E點(diǎn)．已知小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，傳送帶以5m/s恒定速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，g=10m/s²．求：
（1）傳送帶AB兩端的距離
（2）經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小
（3）小物塊離開D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）小物塊從C點(diǎn)沿圓弧切線進(jìn)入豎直光滑的半圓軌道恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，知物塊對(duì)軌道的壓力恰好為零，根據(jù)重力提供向心力求出C點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶AB兩端的距離．
（2）對(duì)小物塊從D到E的過程運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，再針對(duì)水平方向和豎直方向運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求出小物塊運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)的速度，對(duì)D點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律和牛頓第三定律，即可求出經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小；
（3）根據(jù)在D點(diǎn)的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解以及幾何關(guān)系，當(dāng)沿合力方向的速度減小為零時(shí)，物體的速度最小，最小值即為垂直合力方向的速度．

解答 解：（1）物塊在C點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得：v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{15}$m/s
因?yàn)関_C＜5m/s，從A到C做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律：
μmg=ma
可得：a=μg=3m/s²
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得：x_AB=$\frac{{v}_{C}^{2}}{2a}$=2.5m
（2）從D到E做曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得：
豎直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：L=$\frac{0+{v}_{D}}{2}•t$
解得：v_D=7.5m/s
對(duì)D點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律可得，對(duì)軌道的壓力：N′=N=95N
（3）建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)風(fēng)力大小為f，f與重力mg的合力如圖所示，

從D到E的過程，沿合力方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，初速度v_Dcosθ，
垂直合力方向物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v_Dsinθ，保持不變，
沿合力方向的分速度v_Dcosθ減為0時(shí)，小物塊速度取到最小值，故最小速度：v_min=v_Dsinθ
設(shè)水平方向的加速度為a，
水平方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律：v_D=at，可得：a=$\frac{{v}_{D}}{t}$=7.5m/s²
水平方向，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得：f=ma=15N
根據(jù)幾何關(guān)系可得：tanθ=$\frac{mg}{f}$=$\frac{20}{15}$=$\frac{4}{3}$
所以θ=53°，sinθ=$\frac{4}{5}$
所以最小速度：v_min=v_Dsinθ=7.5×$\frac{4}{5}$m/s=6m/s
答：（1）傳送帶AB兩端的距離為2.5m；
（2）經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小為95N；
（3）小物塊離開D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度的大小為6m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是要理清物塊的運(yùn)動(dòng)，物塊經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)和類拋體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律、動(dòng)能定理以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，第（3）問的關(guān)鍵是要找到速度最小的條件，即：沿合力方向的速度減小為0時(shí)，物體的速度最�。�