Question

1．如圖甲所示，一個(gè)光滑的小球放在光滑半球上，半球固定，小球受到輕微擾動(dòng)后，會(huì)在B點(diǎn)離開球面，離開時(shí)的角度為α．如圖乙所示，一個(gè)半徑為R的光滑絕緣的圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向下．一質(zhì)量為m，帶電量為q的小球從A點(diǎn)由靜止開始從左邊滑下．
（1）小球從能否緊貼圓弧下滑到水平位置B點(diǎn)處？如果不能，猜想它大概在什么位置離開；如果能，求出達(dá)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（2）如果加一個(gè)垂直紙面的磁場(chǎng)B，B至少是多大才能使小球到達(dá)A點(diǎn)的正下方C點(diǎn)，磁場(chǎng)的方向如何？
（3）在該磁場(chǎng)的作用下，能否再次通過A點(diǎn)？若能，通過A點(diǎn)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理，再對(duì)分離點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律即可根據(jù)支持力為零求解；
（2）首先由小球偏轉(zhuǎn)方向應(yīng)用左手定則判斷磁感應(yīng)強(qiáng)度方向；然后對(duì)小球運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理，再對(duì)任一點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍，然后根據(jù)表達(dá)式求得任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值的最大值；
（3）根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)過程的受力情況及做功情況求解．

解答 解：（1）小球運(yùn)動(dòng)過程受重力、支持力和電場(chǎng)力作用；小球下滑過程支持力不做功，重力、電場(chǎng)力做正功，故有動(dòng)能定理可得：小球的速度不斷增大；
那么，小球運(yùn)動(dòng)的向心力增大；隨著小球下滑，重力、電場(chǎng)力在徑向的分量逐漸減小，到B點(diǎn)時(shí)減為零；
故小球不能緊貼圓弧下滑到水平位置B點(diǎn)處，當(dāng)支持力為零，重力、電場(chǎng)力的徑向分量正好等于向心力時(shí)，小球離開；
假設(shè)小球脫離軌道時(shí)小球的速度為v，且該點(diǎn)與A點(diǎn)的圓心角為θ，則有：
$（qE+mg）R（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，$（qE+mg）cosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$；
所以，$cosθ=\frac{2}{3}$；
（2）由小球偏轉(zhuǎn)方向，根據(jù)左手定則可知：必須加一個(gè)垂直紙面向里的磁場(chǎng)；
當(dāng)小球在與A點(diǎn)的圓心角為α?xí)r，由動(dòng)能定理可得：$（qE+mg）R（1-cosα）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
由牛頓第二定律可得：$（qE+mg）cosα+Bv′q≥\frac{m{v′}^{2}}{R}$；
所以，Bv′q≥2（qE+mg）（1-cosα）-（qE+mg）cosα=（qE+mg）（2-3cosα）；
所以，$B≥\frac{（qE+mg）（2-3cosα）}{qv′}=\frac{1}{q}\sqrt{\frac{m（qE+mg）（2-3cosα）^{2}}{2R（1-cosα）}}$；
故cosα=-1時(shí)，$\frac{1}{q}\sqrt{\frac{m（qE+mg）（2-3cosα）^{2}}{2R（1-cosα）}}$取得最大值$\frac{5}{2q}\sqrt{\frac{m（qE+mg）}{R}}$；
所以，B至少是$\frac{5}{2q}\sqrt{\frac{m（qE+mg）}{R}}$才能使小球到達(dá)A點(diǎn)的正下方C點(diǎn)；
（3）由小球運(yùn)動(dòng)過程的受力情況及各力做功情況可知：小球從A到C和從C到A的運(yùn)動(dòng)完全對(duì)稱，故小球能再次通過A點(diǎn)，且通過A點(diǎn)速度還是零．
答：（1）小球從不能緊貼圓弧下滑到水平位置B點(diǎn)處，它大概在與A點(diǎn)的圓心角的余弦值為$\frac{2}{3}$的位置離開；
（2）如果加一個(gè)垂直紙面的磁場(chǎng)B，B至少是$\frac{5}{2q}\sqrt{\frac{m（qE+mg）}{R}}$才能使小球到達(dá)A點(diǎn)的正下方C點(diǎn)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里；
（3）在該磁場(chǎng)的作用下，能再次通過A點(diǎn)，且通過A點(diǎn)的速度大小還是零．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．