Question

10．小明同學設(shè)計了一套電磁阻尼測速儀，如圖所示，MN，M′N′為兩根水平固定放置的平行長直光滑的金屬導軌，導軌間距為L，用電阻R₁將導軌左端MM′相連，導軌間加有豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，金屬棒CD放置導軌上，棒的右側(cè)固定一絕緣物塊，棒CD的電阻為R₂，棒與物塊的總質(zhì)量為M．玩具手槍對準物塊的正中間射出一質(zhì)量為m，速度為v₀的子彈，子彈擊中物塊后，棒與物塊一起向左移動x距離停止運動，假設(shè)棒與導軌接觸良好且不轉(zhuǎn)動，子彈擊中物塊的時間很短且停留在物塊內(nèi)部，求：
（1）子彈擊中物塊瞬間棒的速度v，并判斷棒中電流的方向；
（2）從棒開始運動帶停止過程中，棒產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）棒滑行距離x與子彈的初速v₀的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量守恒定律求子彈擊中物塊瞬間棒的速度v，由楞次定律判斷棒中電流的方向．
（2）運用能量守恒定律求出回路中產(chǎn)生的總的焦耳熱，再按比例求棒產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）對棒滑行的過程，由牛頓第二定律和加速度的定義式列式，運用積分法求距離x與子彈的初速v₀的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）對于子彈擊中物塊的過程，以子彈、棒和物塊組成的系統(tǒng)，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
    mv₀=（M+m）v
得 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
棒向左切割磁感線，由楞次定律知棒CD中產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向為：C→D．
（2）從棒開始運動帶停止過程中，對整個回路，由能量守恒定律得：
  Q_總=$\frac{1}{2}$（M+m）v²=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$
棒產(chǎn)生的焦耳熱 Q=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q_總=$\frac{{R}_{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（{R}_{1}+{R}_{2}）（M+m）}$；
（3）對棒及物塊向左滑行的過程，根據(jù)牛頓第二定律得：
    F_安=（M+m）a
又 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Lv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v
      a=$\frac{△v}{△t}$
聯(lián)立得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v=（M+m）$\frac{△v}{△t}$
即有  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v△t=（M+m）△v
可得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$△x=（M+m）△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$△x=$\sum_{\;}^{\;}$（M+m）△v
解得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$x=（M+m）v
結(jié)合 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
得 x=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：
（1）子彈擊中物塊瞬間棒的速度v為 $\frac{m{v}_{0}}{M+m}$，棒中電流的方向為：C→D；
（2）從棒開始運動帶停止過程中，棒產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{R}_{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（{R}_{1}+{R}_{2}）（M+m）}$；
（3）棒滑行距離x與子彈的初速v₀的函數(shù)關(guān)系式為x=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題是含有非彈性碰撞的過程，是電磁感應(yīng)與力學知識的綜合，關(guān)鍵要學會運用積分法求非勻變速運動的位移，其切入點是牛頓第二定律和加速度的定義式．