Question

18．如圖所示，在磁感應(yīng)強度為B的水平勻強磁場中，有一豎直放置的光滑的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)軌平面與磁場垂直，導(dǎo)軌間距為L，頂端接有阻值為R的電阻．將一根金屬棒從導(dǎo)軌上的M處由靜止釋放．已知棒的長度為L，質(zhì)量為m，電阻為r．金屬棒始終在磁場中運動，處于水平且與導(dǎo)軌接觸良好，忽略導(dǎo)軌的電阻．重力加速度為g．
（1）分析金屬棒的運動情況，并求出運動過程的最大速度v_m和整個電路產(chǎn)生的最大電熱功率P_m
（2）若導(dǎo)體棒下落時間為t時，其速度為v_t（v_t＜v_m），求其下落高度h．

Answer 1

分析 （1）通過金屬棒的受力情況來分析其運動情況．當(dāng)安培力和重力相等時，金屬棒做勻速運動，速度達(dá)到最大，由法拉第電磁感應(yīng)定律E=BLv、閉合電路歐姆定律E=I（R+r）、安培力表達(dá)式F=BIL結(jié)合平衡條件，求得最大速度v_m．再由功率公式求整個電路產(chǎn)生的最大電熱功率P_m．
（2）金屬棒從開始下落到速度達(dá)到v_t的過程中，由動量定理列式，再將整個運動過程劃分成很多小段，可認(rèn)為在每個小段中感應(yīng)電動勢幾乎不變，設(shè)每小段的時間為△t，求得安培力的沖量，根據(jù)位移公式求其下落高度h．

解答 解：（1）金屬棒向下運動切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向上的安培力，開始階段，感應(yīng)電流較小，金屬棒所受的安培力較小，合力向下，隨著速度的增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，合力減小，則金屬棒的加速度減小，金屬棒做加速度減小的變加速運動；當(dāng)安培力和重力相等時，金屬棒做勻速運動．
由法拉第電磁感應(yīng)定律 E=BLv
由閉合電路歐姆定律 I=$\frac{E}{R+r}$
由安培力表達(dá)式  F_安=BIL
聯(lián)立得 F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
當(dāng)F_安=mg 時，速度達(dá)到最大v_m，則得 ${v_m}=\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$
速度達(dá)到最大v_m時，感應(yīng)電動勢達(dá)到最大E_m，感應(yīng)電流達(dá)到最大I_m，電路消耗的電功率達(dá)到最大P_m
則得  ${P_m}=I_m^2（R+r）$
解得 ${P_m}=\frac{{{m^2}{g^2}（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
（2）金屬棒從開始下落到速度達(dá)到v_t的過程中，由動量定理得 mgt-I_安=mv_t
將整個運動過程劃分成很多小段，可認(rèn)為在每個小段中感應(yīng)電動勢幾乎不變，設(shè)每小段的時間為△t．
則安培力的沖量 I_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₁△t+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₂△t+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$v₃△t+…=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$（v₁△t+v₂△t+v₃△t+…）
下落高度 h=v₁△t+v₂△t+v₃△t+…
解得：$h=\frac{{m（gt-{v_1}）（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：
（1）金屬棒的運動情況是先做加速度減小的變加速運動，最后做勻速運動．運動過程的最大速度v_m為，$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．整個電路產(chǎn)生的最大電熱功率P_m是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）其下落高度h為$\frac{m（gt-{v}_{1}）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要正確分析金屬棒的受力情況，判斷運動情況．要熟練推導(dǎo)安培力的表達(dá)式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$．第2題中金屬棒做的是變加速運動，不能用運動學(xué)公式求下落的高度，要學(xué)會運用微元法求解．