Question

7．用某種透明材料制成的一塊柱體形棱鏡的水平截面圖如圖所示，F(xiàn)D是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周，圓心為O，AD長度a=$\frac{1}{2}$R．光線以入射角θ₁=60°射到棱鏡AB面上，經(jīng)折射后，光線到達(dá)BF面上的O點且恰好不從BF面射出，計算結(jié)果可用根式表示．求：
（i）棱鏡的折射率n；
（ii）光線在棱鏡中傳播的時間t（光在真空中的傳播速度為c）．

Answer 1

分析 （i）光線射入棱鏡后射在BF面上的O點并恰好不從BF面射出，在BF面上發(fā)生了全反射．作出光路圖．根據(jù)折射定律分別研究光線在AB面上的折射和在BF面的全反射，結(jié)合幾何知識求解折射率n．
（ii）由幾何關(guān)系求出光線在棱鏡中傳播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光線在棱鏡中傳播的速度，即可求得光線在棱鏡中傳播的時間t．

解答 解：（i）設(shè)光線在AB面的折射角為θ₂．
光線恰好不從BF面射出，在O點發(fā)生了全反射，則折射光線與OD的夾角恰好等于臨界角C．如圖所示．
在O點，由折射定律有：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
又 sinC=$\frac{1}{n}$
由幾何關(guān)系有：θ₂+C=90°
聯(lián)立解得：n=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
（ii）光線在棱鏡中傳播的路程為：s=$\frac{a}{cos{θ}_{2}}$+R
光線在棱鏡中傳播的速度為：v=$\frac{c}{n}$
所以光線在棱鏡中傳播的時間為：t=$\frac{s}{v}$
聯(lián)立解得：t=$\frac{（7+4\sqrt{7}）R}{8c}$
答：（i）棱鏡的折射率n是$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）光線在棱鏡中傳播的時間t是$\frac{（7+4\sqrt{7}）R}{8c}$．

點評 本題是折射現(xiàn)象和全反射現(xiàn)象的綜合，關(guān)鍵作出光路圖，運用幾何知識找出角度之間的關(guān)系．