Question

9．如圖所示，一柱形玻璃的橫截面是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，圓心O，以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Oxy．一單色光平行于x軸射入玻璃，入射點(diǎn)的坐標(biāo)為（O，d），單色光在玻璃中的折射率為n=$\sqrt{2}$，不考慮單色光經(jīng)圓弧面反射后的情況．

（i）當(dāng)d多大時(shí)，該單色光在圓弧面上剛好發(fā)生全反射？
（ii）當(dāng)d→0時(shí)，求該單色光照射到x軸上的坐標(biāo)．（θ很小時(shí)，sinθ≈θ，tanθ≈θ）

Answer 1

分析 （i）當(dāng)光射到圓弧面上時(shí)入射角等于臨界角C時(shí)，恰好發(fā)生全反射．由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何知識(shí)求d．
（ii）當(dāng)d→0時(shí)，光射到圓弧面上的入射角很小，在圓弧面上發(fā)生折射，由折射定律列式，結(jié)合正弦定理求解即可．

解答 解：（i）如圖答圖1，當(dāng)光射到圓弧面上的入射角等于臨界角C時(shí)剛好發(fā)生全反射，則
  
sinθ=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得 θ=45°
根據(jù)幾何關(guān)系得 d=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
（ii）如圖答2，當(dāng)射到圓弧面上的入射角很小時(shí)，設(shè)折射角為α，入射角為β，由折射定律得：
   n=$\frac{sinα}{sinβ}$
在△OEF中，由正弦定理得 $\frac{OF}{sin（π-α）}$=$\frac{R}{sin（α-β）}$
當(dāng)d→0時(shí)，sinθ≈θ，則得 OF=$\frac{α}{α-β}$R，α=nβ
聯(lián)立解得 OF=（2$+\sqrt{2}$）R
答：
（i）當(dāng)d是$\frac{\sqrt{2}}{2}$R時(shí)，該單色光在圓弧面上剛好發(fā)生全反射．
（ii）當(dāng)d→0時(shí)，該單色光照射到x軸上的坐標(biāo)為（2$+\sqrt{2}$）R．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是作出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)輔助分析，結(jié)合折射定律和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．