Question

10．如圖所示，長(zhǎng)為l的輕繩一端系于固定點(diǎn)O，另一端系一質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)將小球從O點(diǎn)正下方$\frac{l}{4}$處以一定的初速度水平拋出，經(jīng)過一定的時(shí)間，繩子被拉直．此后小球?qū)⒁設(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)．已知繩子剛好被拉直時(shí)，繩與豎直方向成60°角．求：
（1）小球水平拋出時(shí)的初速度v₀；
（2）小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)小球的拉力F．

Answer 1

分析 （1）小球在繩被拉直前作平拋運(yùn)動(dòng)，由已知條件得到小球的水平位移和豎直高度，有平拋規(guī)律求解初速度
（2）由運(yùn)動(dòng)的分解求得繩子伸直時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒得到運(yùn)動(dòng)到最低的時(shí)的速度，由牛頓第二定律求解此時(shí)繩子的拉力．

解答 解：（1）小球在繩被拉直前作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球拋出后經(jīng)時(shí)間t繩被拉直，則：
水平位移為：lsin60°=v₀t 
豎直高度為：lcos60°-$\frac{l}{4}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由此解得：t=$\sqrt{\frac{l}{2g}}$，v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$
（2）在繩被拉直前瞬間，小球速度的水平分量為v₀，豎直分量為gt，速度大小為：
 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2gl}$
設(shè)速度與豎直方向的夾角為φ，則 tanφ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=$\frac{{v}_{0}}{gt}$=$\sqrt{3}$
所以，φ=60°
可見小球速度與繩沿同一線，小球動(dòng)量在繩拉力的沖量作用下減為零，以后小球作擺動(dòng)，設(shè)球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為v，由機(jī)械能守恒定律可得：
  $\frac{1}{2}$mv²=mgl（1-cos60°）
設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)繩子對(duì)物體的拉力為T，由牛頓第二定律得：
 T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得：T=2mg
答：
（1）小球水平拋出時(shí)的初速度為$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$；
（2）小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，繩所受拉力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將小球的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)過程進(jìn)行分析討論：平拋運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)位移公式、速度分解法則列式求解，之后由機(jī)械能守恒得到運(yùn)動(dòng)到最低的時(shí)的速度，由牛頓第二定律求解此時(shí)繩子的拉力．繩子伸直的瞬間，將導(dǎo)致物體機(jī)械能的損失，是比較難分析的，要格外注意．