Question

12．如圖是湯姆孫用來(lái)測(cè)定電子比荷（電子的電荷量與質(zhì)量之比）的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，某實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)利用此裝置進(jìn)行了如下探索：

①真空管內(nèi)的陰極K發(fā)出的電子經(jīng)加速后，穿過(guò)A'中心的小孔沿中心線(xiàn)OP的方向進(jìn)入到兩塊水平正對(duì)放置的平行極板M和N間的區(qū)域．當(dāng)M和N間不加偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)，電子束打在熒光屏的中心P點(diǎn)處，形成了一個(gè)亮點(diǎn)；
②在M和N間加上偏轉(zhuǎn)電壓U后，亮點(diǎn)偏離到P₁點(diǎn)；
③在M和N之間再加上垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的強(qiáng)弱，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時(shí)，電子在M、N間作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，亮點(diǎn)重新回到P點(diǎn)；
④撤去M和N間的偏轉(zhuǎn)電壓U，只保留磁場(chǎng)B，電子在M、N間作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，亮點(diǎn)偏離到P₂點(diǎn)．若視熒光屏為平面，測(cè)得P、P₂的距離為y．
已知M和N極板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁，間距為d，它們的右端到熒光屏中心P點(diǎn)的水平距離為L(zhǎng)₂，不計(jì)電子所受的重力和電子間的相互作用．
（1）求電子在M、N間作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大��；
（2）寫(xiě)出電子在M、N間作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r與L₁、L₂及y之間的關(guān)系式；
（3）若已知電子在M、N間作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r，求電子的比荷；
（4）根據(jù)該小組同學(xué)的探索，請(qǐng)?zhí)岢龉浪汶娮颖群傻钠渌�方案及需要測(cè)量的物理量．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電子受到電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此由電壓、磁感應(yīng)強(qiáng)度可求出運(yùn)動(dòng)速度．
（2）電子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向與垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．電子離開(kāi)電場(chǎng)后，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，從而可以求出偏轉(zhuǎn)距離的表達(dá)式，變型得到電子的荷質(zhì)比表達(dá)式．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合牛頓第二定律，及幾何關(guān)系，即可求解；
（4）根據(jù)實(shí)驗(yàn)的方法明確估算電子比荷的方案．

解答 解：（1）電子在極板M、N間電場(chǎng)力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，受力平衡，設(shè)電子進(jìn)入極板間的速度為v，由平衡條件有 evB=eE
兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度 $E=\frac{U}drmfgtf$
解得 $v=\frac{U}{Bd}$
（2）極板M、N間僅有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后電子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖所示$tanθ=\frac{L_1}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
穿出磁場(chǎng)后在豎直方向上移動(dòng)的距離${y_3}={L_2}tanθ=\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+{y_3}$
解得$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
（3）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，洛倫茲力提供向心力$evB=m\frac{v^2}{r}$
解得   $\frac{e}{m}=\frac{U}{{{B^2}dr}}$
（4）方案1：若忽略電子從陰極K發(fā)出的初速度，分析電子在探索①中O、A之間的加速運(yùn)動(dòng)，探索③中的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，可以求出電子的比荷，需測(cè)量O、A間的加速電壓
方案2：分析電子在探索②、③中的運(yùn)動(dòng)，可以求出電子的比荷，需測(cè)量P與P₁之間的距離
答：（1）電子在M、N間作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為$\frac{U}{Bd}$；
（2）電子在M、N間作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r與L₁、L₂及y之間的關(guān)系式為$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
（3）若已知電子在M、N間作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r，電子的比荷為$\frac{e}{m}=\frac{U}{{{B^2}dr}}$
（4）方案1：若忽略電子從陰極K發(fā)出的初速度，分析電子在探索①中O、A之間的加速運(yùn)動(dòng)，探索③中的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，可以求出電子的比荷，需測(cè)量O、A間的加速電壓
方案2：分析電子在探索②、③中的運(yùn)動(dòng)，可以求出電子的比荷，需測(cè)量P與P₁之間的距離

點(diǎn)評(píng) 本題為帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意明確電場(chǎng)中的類(lèi)平拋；磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的分析解決方法．