Question

4．2017年4月22日12時(shí)23分，“天舟一號(hào)”與“天宮二號(hào)”順利完成自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．“天舟一號(hào)”由“長(zhǎng)征七號(hào)”運(yùn)載火箭發(fā)射升空，送入近地圓軌道，然后在A點(diǎn)變軌進(jìn)入接地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，B點(diǎn)距離地面的高度為h，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．“天舟一號(hào)”飛行幾周后再次變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，并與“天宮二號(hào)”交會(huì)對(duì)接，如圖所示，已知“天舟一號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，引力常量為G，地球半徑為R．則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． “天舟一號(hào)”在近地圓軌道上運(yùn)行速度大于在預(yù)定圓軌道上運(yùn)行速度
• B． “天舟一號(hào)”在橢圓軌道上B點(diǎn)的速度大于在預(yù)定圓軌道上B點(diǎn)的速度
• C． “天舟一號(hào)”在橢圓軌道上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度之比為$\frac{R+h}{R}$
• D． 根據(jù)題目所給信息，可以計(jì)算出地球質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出其運(yùn)行速度表達(dá)式，根據(jù)半徑關(guān)系得出其速度大小關(guān)系；
（2）由于“天舟一號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)的加速后做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道，進(jìn)而可判斷橢圓軌道上B點(diǎn)的速度與預(yù)定圓軌道上B點(diǎn)的速度的關(guān)系；
（3）根據(jù)開(kāi)普勒第二定律求出天舟一號(hào)”在橢圓軌道上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度之比；
（4）地球?qū)μ熘垡惶?hào)的萬(wàn)有引力提供它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由萬(wàn)有引力公式及向心力公式列方程，可以求出地球的質(zhì)量．

解答 解：A、“天舟一號(hào)”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．
因?yàn)榻�地圓軌道半徑小于預(yù)定圓軌道半徑，所以v_近＞v_預(yù)，
即“天舟一號(hào)”在近地圓軌道上運(yùn)行速度大于在預(yù)定圓軌道上運(yùn)行速度，故A正確；
B、“天舟一號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)的加速后做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道，
故“天舟一號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)的速度小于在預(yù)定圓軌道的B點(diǎn)的速度，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可得，v_Ar_A=v_Br_B，
則有：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}$=$\frac{R+h}{R}$，故C正確；
D、“天舟一號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)為t，故周期為T(mén)=$\frac{t}{n}$，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h），
聯(lián)立以上兩式可解得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力提供向心力是解題的前提，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式、牛頓第二定律、開(kāi)普勒第二定律即可正確解題，難度不大．