Question

16．如圖是翻滾過山車的模型，光滑的豎直圓規(guī)道半徑為R=2m，入口的平直軌道AC和出口的平直軌道CD均是粗糙的，質(zhì)量為m=2kg的小車與水平軌道之間的動摩擦因素均為μ=0.5，加速階段AB的長度為l=3m，小車從以A靜止開始受到水平拉力F=60N的作用，在B點撤去拉力，試問：
（1）要使小車恰好通過圓軌道的最高點，小車在C點的速度為多少？
（2）滿足第（1）的條件下，小車沿著出口平軌道CD滑行多遠的距離？
（3）要使小車不脫離軌道，平直軌道BC段的長度范圍？

Answer 1

分析 （1）由重力等于向心力可求得最高點的速度，再由機械能守恒定律可求得C點的速度；
（2）對C到停止過程由動能定理可求得小球滑行的距離；
（3）分析小球可能的運動情況，由動能定理進行分析明確位移范圍．

解答 解：（1）要使小球通過最高點，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{20}$m/s；
對CD過程由機械能守恒定律可得：
mg2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
解得：v_c=10m/s；
（2）對小球從C點到最后停止過程由動能定理可得：
-μmgx=0-$\frac{1}{2}$mv_c²
解得：x=$\frac{1}{2}$×$\frac{{v}_{C}^{2}}{μg}$=$\frac{100}{0.5×10}$=10m；
（3）要使小車不脫離軌道，有兩種可能；
一、小球能通過最高點，即到達C點的速度大于10m/s；
則對AC過程由動能定理可得：
Fl-μmg（l+x₁）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：x₁=5m；
要使到通過最高點，x₁應(yīng)小于5m；
二、小球無法通過最高點，但到達的高度為R時速度為零，小球同樣不會脫離軌道；
則對全程由動能定理可得：
Fl-μmg（l+x₂）-mgR=0
解得：x₂=11m；
故要使不脫離軌道BC長度可以小于5m或大于11m；
答：（1）小車恰好通過圓軌道的最高點，小車在C點的速度為10m/s；
（2）滿足第（1）的條件下，小車沿著出口平軌道CD滑行10m；
（3）要使小車不脫離軌道，平直軌道BC段的長度范圍小于5m或大于11m

點評 本題考查動能定理及向心力公式的應(yīng)用，要注意明確臨界值的分析，并能正確選擇研究過程，明確動能定理的應(yīng)用．