Question

4．如圖所示，AB是固定在豎直平面內一半徑為R的四分之一圓弧軌道，圓心為O₁，BC是一半徑為$\frac{R}{2}$的四分之一圓弧軌道，圓心為O₂，兩段圓弧軌道在B點平滑對接，圓心O₁和O₂與B點在同一水平線上，一質量為m可視為質點的小球靜止于AB圓弧軌道的最低點A．現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v，不計一切摩擦，重力加速度為g，下列說法正確的是（　�。�

• A． 當v=$\sqrt{3gR}$時，小球上升的最大高度為1.5R
• B． 當v=$\sqrt{3gR}$時，小球不會脫離軌道
• C． 當v=$\sqrt{3.5gR}$時，小球上升的最大高度為1.5R
• D． 當v=$\sqrt{3.5gR}$時，小球不會脫離軌道

Answer 1

分析 小球經(jīng)過圓環(huán)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，知軌道對小球的彈力為零，靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點的速度，然后結合機械能守恒定律求出小球藻最低點的最小速度，最后逐個選項分析即可．

解答 解：若小球剛好在最高點不脫離圓環(huán)，小球受到的重力mg恰好提供向心力，則軌道對球的彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
最低點到最高點的過程中，由機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=mg（R+\frac{R}{2}）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{2}=\sqrt{3.5gR}$．
可知，當小球在最低點的速度是$\sqrt{3.5gR}$時，小球剛好能通過軌道的最高點，不會脫離軌道；所以小球上升的最大高度為1.5R．
若小球的速度小于$\sqrt{3.5gR}$，小球不能通過軌道的最高點，在到達最高點前將脫離軌道，所以小球上升的最大高度小于1.5R．
所以選項AB錯誤，CD正確．
故選：CD

點評 該題考查豎直平面內的圓周運動，解決本題的關鍵知道在最高點的臨界情況，運用牛頓第二定律和機械能守恒進行求解．