Question

3．在x軸下方有一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)為E₀的有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，場(chǎng)強(qiáng)方向沿+x方向，該區(qū)域是邊長(zhǎng)為2L的正方形，邊界和頂點(diǎn)的坐標(biāo)如圖甲所示，某種帶正電的粒子從坐標(biāo)為（0，-2L）的P點(diǎn)以速度v₀沿+y方向射入電場(chǎng)，粒子恰好從電場(chǎng)右邊界的中點(diǎn)A射出電場(chǎng)，整個(gè)環(huán)境為真空中且粒子重力忽略不計(jì)．
（1）求該帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）將原勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域改為如圖乙所示的交變電場(chǎng)，交變電場(chǎng)變化的周期為T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$，從t=0開始，每個(gè)周期T內(nèi)，前$\frac{T}{5}$內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為+4E₁，后$\frac{4T}{5}$內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為-E₁（場(chǎng)強(qiáng)沿+x方向?yàn)檎�），大量的上述粒子仍然以速度v₀從P點(diǎn)沿+y方向持續(xù)射和有界電場(chǎng)，最終所有粒子恰好全部能從有界電場(chǎng)的上邊界離開電場(chǎng)（即向上穿過x軸），求圖乙中E₁的值；（忽略粒子間的相互作用力）
（3）在圖甲的x軸上方某區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于xOy坐標(biāo)平面，要使在（2）問情境下所有從電場(chǎng)上邊界離開電場(chǎng)的粒子經(jīng)過該磁場(chǎng)集團(tuán)后都能會(huì)聚于坐標(biāo)為（2L，3L）的C點(diǎn)，求符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中沿+y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿+x方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律分別列式聯(lián)立求解可得粒子的比荷；
（2）根據(jù)電場(chǎng)變化分段利用牛頓第二定律求得加速度，因?yàn)樗�有粒子恰好能從有界電�?chǎng)的上邊界離開電場(chǎng)，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從電場(chǎng)區(qū)域的右上角、左上角離開電場(chǎng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)位移公式求得電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）洛倫茲力提供向心力，由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$解得半徑，作圖，符合“都能會(huì)聚在C點(diǎn)”條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小圓和最大圓分別如圖的O₁和O₂，只要讓C點(diǎn)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑的右端點(diǎn)上，半徑介于O₁和O₂的半徑之間，都能達(dá)到“都能會(huì)聚在C點(diǎn)”的目的，從x=-L離開電場(chǎng)的粒子若能進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)，就能保證所有粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，如圖乙中圓O₁是符合條件的最小圓，結(jié)合幾何關(guān)系求得符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過時(shí)間t₀打在A點(diǎn)，沿+y方向有：L=v₀t₀
沿+x方向有：L=$\frac{1}{2}$×$\frac{{E}_{0}q}{m}$×t₀²
聯(lián)立解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$
（2）粒子通過電場(chǎng)區(qū)的時(shí)間：t=$\frac{2L}{v0}$=4T （已知T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$）
分析：從t=0時(shí)刻開始，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，每個(gè)場(chǎng)強(qiáng)變化周期的前1/5時(shí)間內(nèi)的加速度大小a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$，沿+x方向；在每個(gè)場(chǎng)強(qiáng)變化周期的后4/5時(shí)間內(nèi)加速度大小a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$，沿-x方向．
不同時(shí)刻從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)方向的速度v_x隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖1所示．

因?yàn)樗�有粒子恰好能從有界電�?chǎng)的上邊界離開電場(chǎng)，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從電場(chǎng)區(qū)域的右上角、左上角離開電場(chǎng)．它們?cè)陔妶?chǎng)方向偏移的距離最大為L(zhǎng)，有：
當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)為4E₁時(shí)加速度為：a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$
當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)為E₁時(shí)加速度為：a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$
L=（$\frac{1}{2}$T•$\frac{{a}_{1}T}{5}$）×4
解得  E₁=$\frac{5}{4}$E₀ 
（3）由圖1可知，所有粒子射出電場(chǎng)時(shí)，x方向分速度為零，速度方向都平行于y軸，大小都是v₀．設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r，則
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$  
粒子平行進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)要能會(huì)聚于C點(diǎn)，則磁場(chǎng)區(qū)半徑R與軌道半徑必須相等，且C點(diǎn)必須處在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑的右端點(diǎn)上，即：R=r  

分析：如圖所示，符合“都能會(huì)聚在C點(diǎn)”條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小圓和最大圓分別如圖的O₁和O₂，只要讓C點(diǎn)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑的右端點(diǎn)上，半徑介于O₁和O₂的半徑之間，都能達(dá)到“都能會(huì)聚在C點(diǎn)”的目的．
從x=-L離開電場(chǎng)的粒子若能進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)，就能保證所有粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，如圖乙中圓O₁是符合條件的最小圓，則
圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小半徑為：R_min=$\frac{3}{2}$L 
對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值為：B=B_max=$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$=$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．
答：（1）該帶電粒子的比荷為$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$；
（2）乙中E₁的值為$\frac{5}{4}$E₀；
（3）符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，要會(huì)確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑和圓心角，知道運(yùn)動(dòng)時(shí)間和周期和圓心角之間的關(guān)系．