Question

20．如圖所示，游樂場翻滾過山車上的乘客常常會在高速旋轉(zhuǎn)或高空倒懸時嚇得魂飛魄散，但這種車的設計有足夠的安全系數(shù)，離心現(xiàn)象使乘客在回旋時穩(wěn)坐在座椅上，還有安全棒緊緊壓在乘客胸前，在過山車未達終點以前，誰也無法將它們打開．設想如下數(shù)據(jù)，軌道最高處離地面32m，最低處幾乎貼地，圓環(huán)直徑為15m，過山車經(jīng)過圓環(huán)最低點時的速度約25m/s，經(jīng)過圓環(huán)最高點時的速度約18m/s．試利用牛頓第二定律和圓周運動的知識，探究這樣的情況下能否保證乘客的安全．

Answer 1

分析 車在最高點時，若恰好由重力提供向心力時，人與保險帶間恰好沒有作用力，沒有保險帶，人也不會掉下來．當速度更大時，人更不會掉下來．當速度大于臨界速度 $\sqrt{gr}$時，人在最高點時對座位就產(chǎn)生壓力．人在最低點時，加速度方向豎直向上，根據(jù)牛頓第二定律分析壓力與重力的關系即可．

解答 解：首先我們分析一下當過山車運動到環(huán)底和環(huán)頂時車中的人的受力情況：重力mg、F_N下和F_N上．F_N下、F_N上分別為過山車在底部和頂部時對人的支持力（為使問題簡化，可不考慮摩擦及空氣阻力）．我們知道，過山車沿圓環(huán)滑動，人也在做圓周運動，這時人做圓周運動所需的向心力由mg和F_N提供．用v_下表示人在圓環(huán)底部的速度，v_上表示人在圓環(huán)頂部的速度，R表示環(huán)的半徑，則由牛頓第二定律得：
在底部：F_N下-mg=m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$
在頂部：F_N上+mg=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$
由F_N下=mg+m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$可知，在環(huán)的底部時，過山車對人的支持力比人的重力大了m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，這時人對過山車座位的壓力自然也比自身重力大m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，好像人的重力增加了m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，使人緊壓在椅子上不能動彈．
由F_N上=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$-mg可知，在環(huán)的頂部，當重力mg等于向心力m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$時，就可以使人沿圓環(huán)做圓周運動，不掉下來．由mg=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$可得，v_上=8.7m/s，也就是說，過山車要安全通過頂點，有8.7m/s的速度就足夠了．而過山車通過頂點時的速度約18m/s，比8.7m/s大得多，所以過山車和人一定能安全地通過頂點，不必擔心．
答：這樣的情況下能保證乘客的安全．

點評 本題是實際問題，考查運用物理知識分析實際問題的能力，關鍵根據(jù)牛頓運動定律分析處理圓周運動動力學問題．