Question

17．如圖甲所示，abcd是位于豎直平面內(nèi)的正方形閉合金屬線框，金屬線框的質(zhì)量為m，電阻為R，在金屬線框的下方有一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，MN和PQ是勻強(qiáng)磁場區(qū)域的水平邊界．并與線框的bc邊平行，磁場方向垂直于線框平面向里．現(xiàn)使金屬線框從MN上方某一高度處由靜止開始下落，如圖乙是金屬線框由開始下落到完全穿過勻強(qiáng)磁場區(qū)域瞬間的v-t圖象，圖中字母均為已知量．重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）金屬線框的邊長；
（2）金屬線框在進(jìn)入磁場的過程中通過線框截面的電量；
（3）金屬線框在0～t₄時(shí)間內(nèi)安培力做的總功．

Answer 1

分析 （1）金屬框進(jìn)入磁場前做勻加速運(yùn)動，由圖線與時(shí)間軸所圍的面積讀出金屬框初始位置的bc邊到邊界MN的高度；由圖象可知，金屬框進(jìn)入磁場過程中是做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)時(shí)間和速度求解金屬框的邊長；
（2）由圖知，金屬線框進(jìn)入磁場過程做勻速直線運(yùn)動，重力和安培力平衡，列式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B．再由電量公式和法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求電量；
（3）由能量守恒定律求出在進(jìn)入磁場過程中金屬框產(chǎn)生的熱量，即可得到安培力做的功．

解答 解：（1）由圖象可知，金屬框進(jìn)入磁場過程中是做勻速直線運(yùn)動，速度為v₁，運(yùn)動時(shí)間為t₂-t₁，故金屬框的邊長：L=v₁（t₂-t₁）；
（2）在金屬框進(jìn)入磁場的過程中，金屬框所受安培力等于重力，則得：mg=BIL，I=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$，又 L=v₁（t₂-t₁）．
聯(lián)立解得：B=$\frac{1}{{v}_{1}（{t}_{2}-{t}_{1}）}$$\sqrt{\frac{mgR}{{v}_{1}}}$
金屬線框在進(jìn)入磁場的過程中通過線框截面的電量 q=I（t₂-t₁）=$\frac{B{L}^{2}}{R}$=v₁（t₂-t₁）$\sqrt{\frac{mg}{{v}_{1}R}}$．
（3）t₁到t₂時(shí)間內(nèi)，根據(jù)能量守恒定律，產(chǎn)生的熱量為：Q₁=mgl=mgυ₁（t₂-t₁）；
t₃到t₄時(shí)間內(nèi)，根據(jù)能量守恒定律，產(chǎn)生的熱量為：Q₂=mgL+$\frac{1}{2}$m（${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$）=mgυ₁（t₂-t₁）+$\frac{1}{2}$m（${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$）
故Q=Q₁+Q₂=2mgυ₁（t₂-t₁）+$\frac{1}{2}$m（${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$）
根據(jù)功能關(guān)系可知，安培力做功 W=-Q=2mgυ₁（t₁-t₂）-$\frac{1}{2}$m（${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$）．
答：
（1）金屬線框的邊長是v₁（t₂-t₁）；
（2）金屬線框在進(jìn)入磁場的過程中通過線框截面的電量是v₁（t₂-t₁）$\sqrt{\frac{mg}{{v}_{1}R}}$；
（3）金屬線框在0～t₄時(shí)間內(nèi)安培力做的總功是2mgυ₁（t₁-t₂）-$\frac{1}{2}$m（${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$）．

點(diǎn)評 本題電磁感應(yīng)與力學(xué)知識簡單的綜合，能由圖象讀出線框的運(yùn)動情況，選擇與之相應(yīng)的力學(xué)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵，要加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)自己識別、理解圖象的能力和分析、解決綜合題的能力．