Question

2．2017年4月17日在北京舉行的2017年“中國(guó)航天日”新聞發(fā)布會(huì)上，國(guó)防科工局總工程師、國(guó)家航天局秘書長(zhǎng)田玉龍透露，今年年底將實(shí)施探月工程嫦娥五號(hào)發(fā)射任務(wù)，完成我國(guó)首次從月球采樣返回的重大使命，屆時(shí)該運(yùn)載任務(wù)將由長(zhǎng)征五號(hào)火箭承擔(dān)．為了實(shí)現(xiàn)這一計(jì)劃，先要登月飛船從距月面一定距離的高軌道變到靠近月球表面低軌道．假設(shè)有一登月飛船以某一速度繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知該飛船質(zhì)量為m，已知該飛船距月球表面的高度為h．該飛船在距月球表面h高處的A點(diǎn)短促地向前噴氣，噴出氣體相對(duì)飛船的速度為u，經(jīng)過一段時(shí)間后飛船運(yùn)動(dòng)到靠近月球表面的B點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的連線過月球球心．已知飛船在A、B兩點(diǎn)的速度與飛船到月心距離的乘積為定值．已知月球半徑為R，已知月球表面的重力加速度為g，已知登月飛船在月球上空的萬有引力勢(shì)能為E_p=$\frac{mg{R}^{2}}{R+h}$（以無窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零）．求：
（1）飛船在距月球表面h高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度．
（2）飛船在A點(diǎn)噴出氣體的質(zhì)量是多少．

Answer 1

分析 （1）飛船在距月球表面h高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬有引力提供向心力，在月球表面上，物體的重力近似等于萬有引力，列式即可求解．
（2）飛船從噴氣后一直到B點(diǎn)滿足機(jī)械能守恒定律，列出A到B機(jī)械能守恒表達(dá)式．飛船在A、B兩點(diǎn)的速度與飛船到月心距離的乘積為定值，列式求出飛船噴氣后的速度，再根據(jù)飛船噴氣過程中動(dòng)量守恒求解即可

解答 解：（1）設(shè)飛船在距月球表面h高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v₀，設(shè)月球的質(zhì)量為M，萬有引力提供向心力
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R+h}$
月球上滿足 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得：v₀=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$
（2）飛船噴氣后的質(zhì)量設(shè)為m′，速度為v_A，到達(dá)B點(diǎn)速度為v_B，飛船從噴氣后一直到B點(diǎn)滿足機(jī)械能守恒定律：
  $\frac{1}{2}$m′v_A²-m′$\frac{g{R}^{2}}{R+h}$=$\frac{1}{2}$m′v_B²-$\frac{g{R}^{2}m′}{R}$
又因?yàn)轱w船在A、B兩點(diǎn)的速度與飛船到月心距離的乘積為定值，有：
  v_A（R+h）=v_BR
以上兩式消去v_B，可得：v_A=$\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}$
飛船噴氣過程中動(dòng)量守恒，以v₀方向?yàn)檎较�，則有：mv₀=（m-△m）v_A+△m（v_A+u）
解得：△m=$\frac{m（{v}_{0}-{v}_{A}）}{u}$=$\frac{m（\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}-\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}）}{u}$
答：（1）飛船在距月球表面h高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）飛船在A點(diǎn)噴出氣體的質(zhì)量是$\frac{m（\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}-\sqrt{\frac{2g{R}^{3}}{（R+h）（2R+h）}}）}{u}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要求掌握萬有引力提供向心力及萬有引力等于重力這一理論，并能正確選取恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式，注意飛船噴氣過程中動(dòng)量守恒，難度較大．