Question

10．如圖所示，x軸上方以原點(diǎn)O為圓心、半徑為的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于xOy平面并指向紙面外．在y軸的負(fù)半軸上有一點(diǎn)A，OA兩點(diǎn)間存在著加速電壓U，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場加速后從O點(diǎn)射入磁場，不計(jì)粒子的重力．
（1）要使粒子從點(diǎn)（R，0）處離開磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為多大？
（2）要使粒子進(jìn)入磁場之后不再穿過x軸，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值為多大？
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?）問中的1.5倍，求粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理可求得粒子進(jìn)入磁場的速度，再由洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場之后不再穿過x軸，由幾何關(guān)系可求得粒子運(yùn)動(dòng)半徑，再由洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力要明確粒子的運(yùn)動(dòng)情況，則由t=$\frac{θ}{2π}T$可求得時(shí)間．

解答 解：（1）由幾何知識(shí)可知：r₁=$\frac{R}{2}$  
由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  得：B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$   
（2）不再穿出x軸，則當(dāng)粒子出磁場時(shí)應(yīng)與x軸平行或向上，當(dāng)平行時(shí)磁場最大；如圖所示；
由幾何知識(shí)可知：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
同理得：B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{mU}{q}}$
（3）當(dāng)B₃=1.5B₂時(shí)
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：r₃=$\frac{mv}{q{B}_{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$r
由于r₃＜$\frac{1}{2}R$
因此電荷在磁場中一個(gè)經(jīng)過半個(gè)周期；故電荷在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π{r}_{3}}{v}$=$\frac{πR}{3}\sqrt{\frac{m}{qU}}$
答：（1）要使粒子從點(diǎn)（R，0）處離開磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場之后不再穿過x軸，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值為$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{mU}{q}}$；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?）問中的1.5倍，粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frac{πR}{3}\sqrt{\frac{m}{qU}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電、磁場中的運(yùn)動(dòng)情況，要注意明確電荷在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力充當(dāng)向心力以及幾何關(guān)系的應(yīng)用，明確在電場中應(yīng)用動(dòng)能定理求解的速度的方法．