Question

10．如圖所示，x軸上方以原點O為圓心、半徑為的半圓形區(qū)域內存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面并指向紙面外．在y軸的負半軸上有一點A，OA兩點間存在著加速電壓U，一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經電場加速后從O點射入磁場，不計粒子的重力．
（1）要使粒子從點（R，0）處離開磁場，磁場的磁感應強度應為多大？
（2）要使粒子進入磁場之后不再穿過x軸，磁場的磁感應強度最大值為多大？
（3）若磁感應強度變?yōu)榈冢?）問中的1.5倍，求粒子在磁場中的運動時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理可求得粒子進入磁場的速度，再由洛倫茲力充當向心力可求得磁場的磁感應強度；
（2）要使粒子進入磁場之后不再穿過x軸，由幾何關系可求得粒子運動半徑，再由洛倫茲力充當向心力可求得磁感應強度；
（3）根據(jù)洛倫茲力充當向心力要明確粒子的運動情況，則由t=$\frac{θ}{2π}T$可求得時間．

解答 解：（1）由幾何知識可知：r₁=$\frac{R}{2}$  
由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  得：B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$   
（2）不再穿出x軸，則當粒子出磁場時應與x軸平行或向上，當平行時磁場最大；如圖所示；
由幾何知識可知：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
同理得：B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{mU}{q}}$
（3）當B₃=1.5B₂時
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：r₃=$\frac{mv}{q{B}_{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$r
由于r₃＜$\frac{1}{2}R$
因此電荷在磁場中一個經過半個周期；故電荷在磁場中運動時間為：
t=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π{r}_{3}}{v}$=$\frac{πR}{3}\sqrt{\frac{m}{qU}}$
答：（1）要使粒子從點（R，0）處離開磁場，磁場的磁感應強度應為$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）要使粒子進入磁場之后不再穿過x軸，磁場的磁感應強度最大值為$\frac{2}{R}\sqrt{\frac{mU}{q}}$；
（3）若磁感應強度變?yōu)榈冢?）問中的1.5倍，粒子在磁場中的運動時間$\frac{πR}{3}\sqrt{\frac{m}{qU}}$．

點評 本題考查帶電粒子在電、磁場中的運動情況，要注意明確電荷在磁場中運動時洛倫茲力充當向心力以及幾何關系的應用，明確在電場中應用動能定理求解的速度的方法．