Question

10．如圖甲所示，在兩塊間距為L(zhǎng)、板長(zhǎng)均為$\sqrt{3}$L的固定水平金屬板之間，存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；兩板的右側(cè)存在范圍足夠大、方向垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．當(dāng)兩板不帶電時(shí)，讓質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子流從兩板左端連線的中點(diǎn)O以初速度v₀水平向右射入板間，結(jié)果粒子恰好打到下板的中點(diǎn)．現(xiàn)將下板接地，上板的電勢(shì)φ隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，其中U=$\frac{2mv_0^2}{3q}$，t=0時(shí)刻從O點(diǎn)射入的經(jīng)時(shí)間t₀恰好從下板右邊絕緣射出．粒子打到板上均被板吸收，粒子所受的重力及粒子間的相互作用均不計(jì)．
（1）求兩板間磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（2）若兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，且粒子P恰能回到O點(diǎn)，求右側(cè)磁場(chǎng)沿初速度方向的寬度d應(yīng)滿足的條件和T的最小值T_min．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)兩板間不加電壓時(shí)，帶電粒子在兩板間的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于粒子打在板的中點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力就能求出求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）由題設(shè)條件，帶電粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)情況較復(fù)雜，可以根據(jù)動(dòng)能定理求出從下板右邊緣進(jìn)入右邊磁場(chǎng)的速度，由于粒子又回到P點(diǎn)，根據(jù)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出軌跡，當(dāng)圓軌跡恰與右邊緣相切時(shí)，由幾何關(guān)系求出半徑，再由洛侖茲力提供向心力就能寬度就滿足的條件，再根據(jù)等時(shí)性求出周期的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)兩板不帶電時(shí)，設(shè)粒子在兩板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，由洛侖茲力提供向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
根據(jù)幾何關(guān)系有：${{R}_{1}}^{2}=（{R}_{1}-\frac{L}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}L}{2}）^{2}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$ 
（2）根據(jù)題意，可畫(huà)出粒子P的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，對(duì)粒子P從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下板右邊緣的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
$-q\frac{U}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
設(shè)粒子P在兩板的右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：R₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
由幾何關(guān)系可知：$\frac{L}{2}={R}_{2}sinα$
右側(cè)磁場(chǎng)沿初速度方向的寬度應(yīng)滿足的條件為：d≥R₂cosα+R₂
解得：d≥$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
由于粒子P從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下板右邊緣與其從上板右邊緣運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)兩過(guò)程的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于兩板間的中心線下下對(duì)稱(chēng)，
可知這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間相等，有T_min^_2t₀=$\frac{（2π-2α）{R}_{2}}{v}$
解得：T_min=2t₀+$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$
答：（1）兩板間磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．
（2）若兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，且粒子P恰能回到O點(diǎn)，則右側(cè)磁場(chǎng)沿初速度方向的寬度d應(yīng)滿足的條件是d≥$\frac{\sqrt{3}}{2}L$，T的最小值T_min為2t₀+$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意的是第二問(wèn)，兩板間的磁場(chǎng)與板右邊的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，雖然帶電粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜，但帶電粒子恰好從下板右邊緣穿出，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，在右邊磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后又從上板右邊緣返回P點(diǎn)．