Question

19．如圖甲所示，一質(zhì)量M=2kg，長為L的圓管豎直放置，頂端塞有質(zhì)量為m=1kg的彈性小球．t=0時(shí)讓管從靜止自由下落，t=1.0s時(shí)落地，落地后管立刻以與落地時(shí)大小相等的速率豎直彈起，第一次彈起后管上升過程的速度圖象如圖乙所示（豎直向下為正方向）．之后管每次落地后，總以與落地時(shí)相等的速率豎直彈起．已知小球始終沒有從管中滑出，球與管間的滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，不計(jì)空氣阻力及圓管與地面間碰撞的時(shí)間，求：（g=10m/s²）

（1）球和管間的滑動(dòng)摩擦力的大�。�
（2）管從第一次落地到第二次落地所用的時(shí)間；
（3）圓管的最小長度．

Answer 1

分析 （1）乙圖中t=1.0-1.5s內(nèi)，管向上彈起做勻減速運(yùn)動(dòng)，由圖象的斜率求出管的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求球和管間的滑動(dòng)摩擦力．
（2）根據(jù)牛頓第二定律和速度公式求第一次碰撞后管與球的速度相等的過程經(jīng)歷的時(shí)間，以及共同速度．由速度位移關(guān)系公式求出管上升的高度．由位移公式求出從速度第一次相等到第二次落地，管與球再次共同運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間，從而得到總時(shí)間．
（3）圓管的最小長度時(shí)，球與管均靜止，且球恰好在管的最下端，根據(jù)能量守恒定律求解．

解答 解：（1）由圖乙可知，向下為正方向，在t₂=1.5s-1.0s=0.5s內(nèi)，管的加速度為
  a₁=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{2}}$=$\frac{10}{0.5}$=20m/s²．
設(shè)球和管間的滑動(dòng)摩擦力大小為f，由牛頓第二定律得：
  Mg+f=Ma₁，解得 f=20N
（2）在第一次碰撞后到管與球速度（設(shè)為v）相等的過程中，設(shè)球的加速度為a₂，時(shí)間為t₃，管上升的高度為h，由牛頓第二定律得：
  mg-f=ma₂，解得 a₂=-10m/s²．
又對(duì)球有：v=v₀+a₂t₃
對(duì)管有：v=-v₀+a₁t₃
聯(lián)立解得 t₃=$\frac{2}{3}$s，v=$\frac{10}{3}$m/s
對(duì)管有：${v}^{2}-{v}_{0}^{2}$=-2a₁h
從速度第一次相等到第二次落地，管與球再次共同運(yùn)動(dòng)，設(shè)該過程的時(shí)間為t₄，則有
  h=vt₄+$\frac{1}{2}g{t}_{4}^{2}$
解得 t₄=$\frac{\sqrt{5}-1}{3}$s
則管從第一次落地到第二次落地所用的時(shí)間 t=t₃+t₄=$\frac{\sqrt{5}+1}{3}$s
（3）設(shè)管的最小長度為L，最終管與球均靜止時(shí)，球恰好在管的最下端，由能量守恒定律得：
  MgH+mg（H+L）=fL
  H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 L=15m
答：
（1）球和管間的滑動(dòng)摩擦力的大小是20N；
（2）管從第一次落地到第二次落地所用的時(shí)間是$\frac{\sqrt{5}+1}{3}$s；
（3）圓管的最小長度是15m．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．