火星與地球的半徑之比為1∶2，質(zhì)量之比為1∶9，則火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比．

經(jīng)過(guò)天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸寻l(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)．雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的觀測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距l，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．(1)試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期．(2)若實(shí)驗(yàn)上觀察測(cè)得的運(yùn)動(dòng)周期為，且．為了解釋二者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為在宇宙中可能有一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的物質(zhì)，即暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響．試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

已知地球半徑約為，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，估算月球到地心的距離．(結(jié)果只保留一位有效數(shù)字)

如圖所示，在半徑為r的均勻球中挖去一個(gè)半徑為r/2的球形空穴，其表面與球面相切，在未挖空穴前球的質(zhì)量為，在球心和空穴的中心連線上，距球心d處有一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，求剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力．

有一個(gè)名叫谷神的小行星(質(zhì)量為)，它的軌道半徑是地球的2.77倍，求它繞太陽(yáng)一周需要多少年？

地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運(yùn)動(dòng)軌道則是一個(gè)非常扁的橢圓．天文學(xué)家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過(guò)一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長(zhǎng)軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍(圖)，并預(yù)言這顆彗星將每隔一定時(shí)間就會(huì)出現(xiàn)．哈雷的預(yù)言得到證實(shí)，該彗星被命名為哈雷彗星．哈雷彗星最近出現(xiàn)的時(shí)間是1986年，請(qǐng)你根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律估算，它下次飛近地球是哪一年？

哈雷彗星軌道示意圖

一種通信衛(wèi)星需要“靜止”在地面上空的某一點(diǎn)，因此它的運(yùn)行周期必須與地球自轉(zhuǎn)周期相同．請(qǐng)你估算：通信衛(wèi)星離地心的距離大約是月心離地心距離的幾分之一？(用漢字回答）

月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為地球半徑的60倍，運(yùn)行周期約為27天．應(yīng)用開(kāi)普勒定律計(jì)算：在赤道平面內(nèi)離地多高時(shí)，人造地球衛(wèi)星隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，就像停留在天空中不動(dòng)一樣？()

如圖所示，飛船沿半徑為R的圓周?chē)�繞著地球運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)行周期為T(mén)．如果飛船沿橢圓軌道運(yùn)行，直至要下落返回地面，可在軌道的某一點(diǎn)A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心O為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道與地球表面相切于B點(diǎn)．求飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間(圖中是地球半徑)．

如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長(zhǎng)為l的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且，過(guò)正作水平線EF，在EF上釘鐵釘O，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球懸線拉至水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子位置在水平線上的取值范圍．(不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失)