【題目】已知函數(shù)

)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

)記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn).如果在曲線上存在點(diǎn),使得:;曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線,則稱函數(shù)存在中值相依切線.試問(wèn):函數(shù)是否存在中值相依切線,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;(II不存在,理由見解析.

【解析】

試題分析:I)求導(dǎo)得,按照兩根大小來(lái)分類討論,從而得到單調(diào)區(qū)間;II)先假設(shè)存在,求出,求出,由此化簡(jiǎn)得,令換元后化簡(jiǎn)得,用導(dǎo)數(shù)證明不存在使上式成立.

試題解析:

)易知函數(shù)的定義域是,

當(dāng)時(shí),即時(shí), ,解得;

,解得

所以,函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),即時(shí), 顯然,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),即時(shí), ,解得;

,解得

所以,函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減

綜上所述,

當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減

)假設(shè)函數(shù)存在中值相依切線

設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn),且

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

,

依題意得:

化簡(jiǎn)可得:,即

設(shè)),上式化為:,

,

因?yàn)?/span>,顯然,所以上遞增,顯然有恒成立.

所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述,假設(shè)不成立.所以,函數(shù)不存在中值相依切線

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