Question

16．已知直線l過橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦點F且交橢圓C于A、B兩點．O為坐標原點，若OA⊥OB，則點O到直線AB的距離為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 討論直線l的斜率，聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系，令k_OA•k_OB=-1解出k，得出直線l的方程，從而求得點O到直線l的距離．

解答 解：F（-1，0），
若直線l無斜率，直線l方程為x=-1，此時A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$．不符合題意．
若直線l有斜率，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消元得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{2{k}^{2}（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{4}}{1+2{k}^{2}}$+k²=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}-2}$=-1，
解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為$\sqrt{2}$x-y+$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x+y+$\sqrt{2}$=0，
∴O到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選A．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題是關(guān)鍵，屬于中檔題．