8.人教版選修1-1第108頁(yè)B 組習(xí)題,選修2-2第34頁(yè)B組習(xí)題
利用函數(shù)的單調(diào)性,證明:
變式1:證明:,
證明:(1)構(gòu)造函數(shù),
,當(dāng),得下表
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
|
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
總有
另解,當(dāng),
當(dāng),單調(diào)遞增,……①
當(dāng),單調(diào)遞減, ………………②
當(dāng) …………………………………………………………③
綜合①②③得:當(dāng)時(shí),
(2)構(gòu)造函數(shù),
當(dāng),當(dāng)單調(diào)遞減;
當(dāng)單調(diào)遞增;極小值=,
總有即:.
綜上(1)(2)不等式成立.
變式:(理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:
方程f(x)=x2+x+a, 即x-a+1-ln(1+x)2=0,記g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.
所以.由>0,得x<-1或x>1,由<0
得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增,為使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只須g(x)=0在上各有一個(gè)實(shí)根,于是有
9. 函數(shù)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍
解:由,得單調(diào)遞增;
又,
所以是奇函數(shù).,
在上單調(diào)遞增, 恒成立,即:恒成立,分類:①當(dāng)恒成立,適合;
②當(dāng)恒成立解得:
綜上,
說明:(1)通過研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性與奇偶性),利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題,是函數(shù)思想的重要應(yīng)用.(2)找尋使恒成立的條件實(shí)際上依然用的是函數(shù)圖像(數(shù)形結(jié)合)的函數(shù)思想.
變式:設(shè)函數(shù)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:由,得單調(diào)遞增;
又,
所以是奇函數(shù).,
恒成立,即恒成立.
①當(dāng)成立;②當(dāng)
10.如圖,曲線段OMB是函數(shù)的圖象,軸于點(diǎn)A,曲線段OMB上一點(diǎn)M處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P,交線段AB于點(diǎn)Q
(1)若t已知,求切線PQ的方程 (2)求的面積的最大值
解:(1),所以過點(diǎn)M的切線的斜率為
由點(diǎn)斜式得切線PQ方程為,
即……①
(2)…………②
對(duì)①令x=6得…………③
令y=0得…………④
③④代入②得
,令 解得
T |
(0,4) |
4 |
(4,6) |
S’ |
+ |
0 |
- |
S |
增 |
極大值64 |
減 |
所以當(dāng)t=4時(shí)有極大值64,
所以當(dāng)t=4時(shí),的面積的最大值為64.
11.用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻折900角,再焊接而成,問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大的容積是多少?
解:設(shè)容器的高為x,容器的體積為V.
則(0 < x < 24)
?。?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383790_1/image283.gif">x
∵x
由
∴
所以 當(dāng)
又
所以 0
答:該容器的高為10cm時(shí),容器有最大容積19600
12.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本(萬元),已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元,產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤(rùn)最大?
分析:先建立總利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù),總利潤(rùn)=總銷售量-總成本C(x)= 產(chǎn)品件數(shù)*產(chǎn)品單價(jià)-C(x),因而應(yīng)首先求出產(chǎn)品單價(jià)P(x)的解析式.
解:設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)P元,據(jù)已知,,
設(shè)利潤(rùn)為y萬元,則
,
遞增;遞減,
極大=最大.
答:當(dāng)產(chǎn)量為25萬件時(shí),總利潤(rùn)最大
選修2-2第59頁(yè)例1、例2
計(jì)算下列定積分:
變式1:計(jì)算:;
(1);(2)
解:.(1)
(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:與x=0,x=2所圍圖形是以(0,0)為圓心,2為半徑的四分之一個(gè)圓,其面積即為(圖略)
變式2: 求將拋物線和直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.
分析:利用定積分的定義解題,應(yīng)當(dāng)畫出草圖.
解:先求出拋物線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),(1,-1)
利用定積分的定義易得:
變式3:在曲線上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍的面積為,試求:(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)在切點(diǎn)A的切線方程.
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