1.設全集U=R,已知集合,集合ZZ,則(B)
A. B. C.{0,1,3} D.
提示:由,,求得正確選項為B.
2.已知三個力,,同時作用于某物體上一點,現加上一個力后恰使得物體保持平衡,則(B)
A.7 B.1 C.-1 D.
提示:要求四個力的和為零向量,∴(1,2),故,選B.
3.設復數的共軛復數用表示,已知復數在映射f下的象為,且在下存在原象,則它的原象為( A )
A.2 B. C. D.
提示:令,則,∴,故原象為,故選A.
4.如果一個點既在一個指數函數的圖象上又在一個對數函數的圖象上,那么就稱這個點為“優(yōu)質點”.在下面五個點M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2,)中,“優(yōu)質點”的個數為(B)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
提示:若為對數函數圖象上的點,則當時,,∴M、N兩點不符合條件,若為指數函數圖象上的點,則當時才有,∴P點不符合條件,反之在找到指數函數,使和成立的同時可以找到對數函數,使和成立,故選B.
5.用一個平面去切一個正四面體,使之得到形狀大小都相同的兩個幾何體,則這樣的平面共有(D)
A.3個 B.6個 C.12個 D.無數個
提示:過其中一組對棱的兩個中點,且與另一組對棱相交的平面都滿足條件,選D.
6.已知,則圓錐曲線的一條準線方程是(C)
A. B. C. D.
提示:由已知得,∴,∴圓錐曲線的標準方程為,其漸近線方程為,故選C.
7.如果數列滿足,則( A )
A.2 B.1 C. D.0
提示:依題意有,∴,即數列是等差數列,公差為,首項為,∴,∴,∴,故選A.
8.已知函數的反函數是,且,則的最小值是(D)
A.2 B.4 C. D.
提示:由已知,∴,即,即,且都為正數,∴,故選D.
9.曲線上的點到直線的最短距離是(A)
A. B. C. D.0
提示:令,則,∴曲線上過點(1,0)的切線與直線平行,從而最短距離即為點(1,0)到直線的距離,由距離公式得,選A.
10.若函數的圖象如圖所示,則m的取值范圍為(B)
A. B.
C. D.
提示:,由圖象可知必有兩個絕對值大于1的實數根,∴,又在上函數單調遞增,∴,故選B.
11.已知函數的最小正周期為,則 ____________.
[答案]1
提示:,∴最小正周期,∴,∴,∴.
12.設O為坐標原點,A(2,1),若P的坐標滿足,則的最大值為 .
[答案]
提示:作出可行域,設取得最大值的點為,則,令,由圖形可知當該直線系經過與的交點時有最大值12,故為.
13.設,若在處連續(xù),則__________.
[答案]
提示:當點處的極限值等于其函數值,∴,∴,,故得.
14.某市為改善投資環(huán)境,計劃對城郊結合部如圖所示的A、B、C、D、E、F六個區(qū)域進行治理,第一期工程擬從這六個區(qū)域中選取三個區(qū)域,但要求至多有兩個區(qū)域相鄰,則不同的選取方法共有____________種(用數字作答).其中區(qū)域A在第一期得到治理的概率是_______________.
[答案]16,
提示:分兩類,第一類,恰有兩個區(qū)域相鄰--當AB或EF相鄰時各有3種,當BC、CD、DE相鄰時各有2種;三個區(qū)域都不相鄰--有種方法;故共有16種方法.
其中含有A的方法有ABD(E、F),ACD(DE、EF、DF)和ACE(F)9種,故所求概率為.
15.對大于2或等于2的自然數的次冪進行如下方式的“分裂”:
,,;,,,,…
則對進行類似的“分裂”時,“分裂”中的最大的數是____________;若已知在“分裂”中的最小數是21,則的值為______________.
[答案]9,5
提示:由得 “分裂”中的最大的數是9;又,而,故知若在“分裂”中的最小數是21,則的值為5.
16.已知函數.
(1)當時,求函數的單調遞增區(qū)間;
(2)當且時,函數的值域為,求的值.
[解答],
(1)當時,,
∴當()時是增函數,
∴的單調遞增區(qū)間是();
(2)由得,
∴,
∵,∴當時,取得最小值為3,
而當時,取得最大值為4,
即,解得,∴.
17.(本小題滿分12分)如圖,△AOE和△BOE都是邊長為1的等邊三角形,延長OB到C使|BC|=t(t>0),連AC交BE于D點.
(1)用t表示向量和的坐標;
(2)求向量和的夾角的大小;
(3)求的取值范圍。
[解答](1)=((t+1),-(t+1)),
∵=t,∴=t,=,又=(,),
=-=(t,-(t+2));∴=(,-),
∴=(,-);
(2)∵=(,-),
∴.=.+.=,
又∵||.||=.,
∴cos<,>==,∴向量與的夾角為60°;
(3)由(2).=,
∴.,且等號不能取得,
∴.,所求范圍是。
18.(本小題滿分12分)一種電器控制器在出廠時每五件一等品裝成一箱,工人在裝箱時不小心把兩件二等品和3件一等品裝入了一箱,為了找出該箱中的二等品,我們把該箱中產品逐一取出進行測試.
(1)求前兩次取出都是二等品的概率;
(2)求第二次取出的是二等品的概率;
(3)用隨機變量表示第二個二等品被取出時共取出的產品件數,求的分布列及數學期望.
[解答](1)五件產品逐一取出方法共有種,
前兩次取出都是二等品的方法共有種,
所以前兩次取出都是二等品的概率為
(2)第二次取出是二等品方法共有種,
所以第二次取出是二等品的概率是:;
(3)依題意,
,
|
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
|
|
|
|
所以分布列為:
∴.
19.(本小題滿分12分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的棱長都是2,點A1與AB、AC的距離都等于,且A1E⊥B1B于E,A1F⊥C1C于F.
(1)求證:平面A1EF⊥平面B1BCC1;
(2)求點A到平面B1BCC1的距離;
(3)求平面A1EF與平面A1B1C1所成二面角的大小.
[解答](1),∴B1B平面A1EF,∴平面A1EF⊥平面B1BCC1;
(2)由于A1A//平面B1BCC1,
故點A、A1與平面B1BCC1的距離相等.
∵四邊形ABB1A1為菱形,故A1E=A1F=,
∵B1B⊥平面A1EF,EF平面A1EF,
∴BB1⊥EF,從而EF=BC=2,
∴△A1EF是等腰直角三角形,
取EF中點M,則A1M⊥EF,且A1M=1,
從而A1M⊥平面B1BCC1,即A1到平面B1BCC1的距離為1;
(3)設平面A1EF與平面A1B1C1所成的二面角的棱為直線l,取B1C1的中點N,
則A1N⊥B1C1,但B1C1//EF,∴B1C1//平面A1EF,于是B1C1//l,
在△A1B1C1中,A1N=,∴A1M⊥l,A1N⊥l,
即∠MA1N為所求二面角的平面角,
∵A1M⊥平面B1BCC1,∴A1M⊥MN,∴cos∠NA1M=,
故所求二面角的大小為.
20.(本小題滿分13分)在平面直角坐標系中,已知A1,A2,P(),M,O為坐標原點,若實數使向量,和滿足.
(1)求點P的軌跡方程,并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線;
(2)當時,過點A1且斜率為1的直線與此時(1)中的曲線相交的另一個交點為B,能否在直線上找到一點C,恰使為正三角形?請說明理由.
[解答](1)由已知可得,,,且,∴即,
即點P的軌跡方程是,
當即時,有,
此時,∴,綜合知此時點的軌跡即為兩點A1和A2;
當即時,方程為,
此時點P的軌跡是雙曲線;
當時,方程為,且為兩條射線;
(2)過點A1斜率為1的直線方程為,
當時,曲線方程為,其軌跡就是兩點A1和A2,
此時直線過點A1但不過A2點,∴B點不存在,從而這樣的三角形也不存在.
21.已知函數,記,,且.
(1)求數列的前項和;
(2)解關于的不等式;
(3)證明.
[解答](1)∵,
,
……
,
∴,
而,
∴,∴,
∴
;
(2)當時,成立,故是不等式的一個解,
當時,成立,故不是不等式的解,
當時,成立,故也不是不等式的解,
當,時,∵,
∴故,故,都是不等式的解,
綜合知所求的解集為,且;
(3)∵,
且由(2)知,
∴.