直線的傾斜角和斜率、直線方程的點(diǎn)斜式、直線方程的斜截式
[知識(shí)點(diǎn)]
1. 直線的方程和方程的直線:
定義:
(1)以一個(gè)方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上。
(2)直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解。
滿足(1)(2)的方程f(x,y)=0是直線l的方程,同時(shí)稱直線l為方程f(x,y)=0的直線。
2. 直線的傾斜角:
定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合時(shí),所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為直線傾斜角。
規(guī)定:當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0°。
范圍:0°≤α<180°
注意:(1)定義分兩部分:一部分是與x軸相交,另一部分與x軸平行。
(2)與x軸相交的定義中,應(yīng)理解三個(gè)地方:①x軸繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②逆時(shí)針?lè)较?;③最小正角?/p>
(3)應(yīng)特別注意傾斜角的范圍[0,π)。
(4)任何一條直線有唯一傾斜角,表示直線的傾斜程度,但傾斜角為α的直線有無(wú)窮多條。
3. 直線的斜率:
定義:傾斜角不是90°的直線,其傾斜角的正切,叫做這條直線的斜率。
符號(hào):常用k表示,即k=tanα。
注意:(1)所有直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率。
調(diào)區(qū)間。
(3)當(dāng)傾斜角為90°時(shí)斜率不存在,但直線存在。
4. 過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式:
公式推導(dǎo):如圖,已知直線l過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),傾斜角為α,求斜率k。
注意:(1)斜率公式與點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。
(2)由公式可知表示直線傾斜程度,可以由直線上兩點(diǎn)確點(diǎn),無(wú)需求傾斜角。
(3)當(dāng)x1=x2,y1≠y2時(shí),α=90°沒(méi)有斜率。
(4)利用公式求斜率時(shí),應(yīng)注意隱含條件x1≠x2。
5. 直線的方向向量:
意義:表示直線的方向。
6. 直線方程的點(diǎn)斜式:
(1)方程的推導(dǎo):略
(3)方程的特殊情況:y=y(tǒng)1
(4)不能用點(diǎn)斜式表示的直線:x=x1
7. 直線方程的斜截式:
(1)方程的推導(dǎo):(略)
(2)截距的概念:(是坐標(biāo)不是距離)
(3)方程的形式:y=kx+b
(4)方程的特殊情況:y=0
(5)不能用斜截式表示的直線:x=0
[典型例題]
例1. 已知直線l的斜率k滿足k>-2,求直線l的傾斜角的范圍。
解:設(shè)直線l的傾斜角為α
小結(jié):已知直線l的斜率的范圍,求直線l的傾斜角的范圍時(shí),常先畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后再由圖象確定傾斜角的范圍。
例2.
求直線l的斜率。
解:設(shè)直線l的傾斜角為α,由題意知直線AB的傾斜角為2α
小結(jié):由2α的正切值確定α的范圍,及由α的范圍求α的正切值是本例中易忽略的地方,在解同類型題的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意。
例3. 求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)的直線l的斜率,并且求出l的傾斜角α及其取值范圍。
解:(1)當(dāng)m=2時(shí),x1=x2=2
小結(jié):利用斜率公式時(shí),應(yīng)注意公式的應(yīng)用范圍。當(dāng)斜率k≥0時(shí),直線的傾斜角為arctank;當(dāng)k<0時(shí),直線的傾斜角為π+arctank。
例4. 求證:A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)三點(diǎn)共線。
證法一:∵A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)
∴直線AB與直線AC傾角相同且過(guò)同一點(diǎn)A
∴直線AB與直線AC為同一條直線
故A、B、C三點(diǎn)共線
證法二:∵A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)
故A、B、C三點(diǎn)共線
小結(jié):解法一是利用了直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)所確定的斜率都應(yīng)相等這一思想方法。解法二利用了共線向量定理,此法較簡(jiǎn)單,此題還有其他一些解法。
例5. 已知兩點(diǎn)A(-3,4)、B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(2,-1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)。
(1)求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍。
解:如圖所示,因?yàn)橹本€l與線段AB有公共點(diǎn),所以l的傾斜角介于直線PB與直線PA的傾斜角之間,當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí),k≥kPB;當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí),k≤kPA。
(1)∵l與線段AB有公共點(diǎn)
∴k的取值范圍是k≤-1或k≥3。
(2)因?yàn)?i>l的傾斜角介于直線PB的傾斜角和直線PA的傾斜角之間,又直線PB的傾斜角是arctan3,直線PA的傾斜角是
例6. 如圖所示,直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3,則( )
(1995年全國(guó)高考題)
分析:根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系判斷。
解:法一根據(jù)直線的斜率k與傾斜角α的關(guān)系k=tanα(0≤α<π),由圖可見(jiàn)k2>k3>0>k1,故選D。
例7. 已知直線的傾斜角的取值范圍,利用正切函數(shù)的性質(zhì),討論直線斜率及其絕對(duì)值的變化情況。
(1)0°<α<90°;(2)90°<α<180°。
分析:本題要討論的問(wèn)題有兩個(gè):第一,直線斜率的變化情況;第二,直線斜率的絕對(duì)值的變化情況。
(2)首先要建立斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系以及斜率k的絕對(duì)值|k|與傾斜角α之間的關(guān)系,然后討論變化情況,必要時(shí)可先畫(huà)出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象指出直線的斜率及其絕對(duì)值的變化情況。
(3)用函數(shù)的性質(zhì)或圖象知識(shí)去討論。
解:當(dāng)0°<α<90°時(shí),tanα>0
(1)k=tanα,|k|=|tanα|=tanα(0°<α<90°)
∴y=k與y=|k|的圖象相同(如圖所示)
這時(shí),直線的斜率與直線斜率的絕對(duì)值相等,且屬于(0,+∞),直線的斜率及其絕對(duì)值隨著直線傾斜角的增大而增大。
當(dāng)90°<α<180°時(shí),k=tanα<0
當(dāng)0<α<90°時(shí),直線斜率的變化范圍是(0,+∞),隨著傾斜角在開(kāi)區(qū)間
當(dāng)90°<α<180°時(shí)直線斜率絕對(duì)值的變化范圍是(0,+∞),隨著傾斜角在開(kāi)
于0。
例8. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍,求直線l的方程。
解:設(shè)直線x-4y+3=0的傾斜角為α
又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)
小結(jié):先求出直線x-4y+3=0的傾斜角,然后求出直線l的傾斜角,最后代入點(diǎn)P求出解析式。
例9. 已知直線過(guò)點(diǎn)P(-2,3),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4,求直線的方程。
分析:關(guān)鍵是要求出斜率k。
解:顯然,直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直,設(shè)直線的方程為y-3=k(x+2)
例10. 如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過(guò)( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
(1991年全國(guó)高考題.文)
答案:C
分析:先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),再判斷。
解:法一,由BC<0,知B≠0
因?yàn)锳C<0,BC<0,所以AB>0
所以直線不通過(guò)第三象限,故選C。
法二,取特殊值:A=B=1,C=-1知滿足題設(shè),此時(shí)方程為x+y-1=0,由其圖象知,直線不通過(guò)第三象限,故選C。
例11.
線方程
解:
∴其傾斜角α=120°
小結(jié):
[模擬試題]
1. 直線的傾斜角是( )
A. B.
C. D.
2. 若直線的斜率為k,并且,則直線l的傾斜角α的范圍是__________。
3. 已知直線l過(guò)兩點(diǎn),則此直線的斜率和傾斜角分別為( )
A. 1,135° B.
C. D. 1,45°
4. 過(guò)點(diǎn),傾斜角為150°的直線的方程是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知直線的方程是,則( )
A. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,),斜率為
B. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(),斜率為1
C. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為
D. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(),斜率為
6. 直線的斜率為k,在y軸上的截距為b,則有( )
A.
B.
C.
D.
7. 若直線l的傾斜角為α,并且,求直線l的斜率k。
8. 已知某直線的傾斜角α滿足,求該直線的斜率。
9. 已知直線l過(guò)點(diǎn)A(2,-1),傾斜角α的范圍是。在直角坐標(biāo)系中給定兩點(diǎn),問(wèn)l與線段MN是否有交點(diǎn)?若有交點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由。
10. 分別在下列條件下求直線的傾斜角和斜率。
(1)直線l的傾斜角的正弦值為;
(2)直線l的方向向量為。
直線的傾斜角和斜率、直線方程的點(diǎn)斜式、直線方程的斜截式參考答案
[試題答案]
1. 答案:D
解析:把直線寫(xiě)成
,而
∴直線的傾斜角是
2. 答案:或
解析: ,即
由函數(shù)的圖象及,知l的傾斜角α的范圍是
或
3. 答案:C
解析:
∴直線的傾斜角為135°
4. 答案:D
所求直線的斜率
由點(diǎn)斜式得:
即
故所求直線方程為
5. 答案:C
解析:直線方程可化為
故直線過(guò)點(diǎn)(),斜率為
6. 答案:C
解析:直線方程化為斜截式得:
故
7. 解:
即
解之,得:
為所求
8. 解:當(dāng)時(shí),,該直線的斜率不存在。
當(dāng)時(shí),
綜上所述,當(dāng)時(shí),所求直線的斜率不存在;
當(dāng)時(shí),所求直線的斜率為。
9. 解:l與線段MN有交點(diǎn)
因?yàn)?sub>,所以直線AM的傾斜角為。
因?yàn)?sub>,所以直線AN的傾斜角為。
因?yàn)?i>l的傾斜角α的范圍是,所以l與線段MN有交點(diǎn)。
10. 分析:(1)由已知條件求出直線的傾斜角,再求直線的斜率。注意到在與內(nèi)角的正弦值都取正值,因此用反正弦表示角時(shí),應(yīng)區(qū)分角是銳角還是鈍角。
(2)利用方向向量與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角相等求解。
解:(1)設(shè)直線l的傾斜角為α,則
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
(2)法一:∵v是l的方向向量
∴v∥l
∴v與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角α相等,則
∴l的斜率,傾斜角為
法二:設(shè)l的斜率為k,則是l的一個(gè)方向向量
由已知是l的一個(gè)方向向量
∴u∥v,則
即
∴,傾斜角為
[勵(lì)志故事]
沉靜--思考--判斷--成功
從前有位地主巡視谷倉(cāng)時(shí),不慎將一只名表遺失,因遍尋不獲,便定下賞金,要農(nóng)場(chǎng)上的小孩幫忙尋找,誰(shuí)能找到手表,獎(jiǎng)金500美元。眾小孩在重賞之下,無(wú)不賣力搜尋,奈何谷倉(cāng)內(nèi)到處都是成堆的谷粒和稻草,大家忙到太陽(yáng)下山仍無(wú)所獲,結(jié)果一個(gè)接著一個(gè)都放棄了。
只有一個(gè)貧窮小孩,為了那筆巨額獎(jiǎng)金,仍不死心地尋找。當(dāng)天色漸黑,眾人離去,雜沓人聲靜下來(lái)之后,他突然聽(tīng)到一個(gè)奇怪的聲音。那聲音“滴答、滴答”不停地響著,小孩立刻停下所有的動(dòng)作,谷倉(cāng)內(nèi)更安靜了,滴答聲也響得更為清晰。小孩循著聲音,終于在諾大漆黑的谷倉(cāng)中找到了那只名貴手表。
“靜坐無(wú)所為,春來(lái)草自青?!?/p>
惟有讓流水平靜下來(lái),太陽(yáng)和月亮才能在它的表面上顯現(xiàn)倒影。
當(dāng)人沉靜下來(lái),才能看出所有干擾清晰思考,蒙蔽真實(shí)感情,影響智慧判斷,以及阻礙自己找到答案的問(wèn)題所在。
在自己的內(nèi)心保留一處夢(mèng)想可以停駐的寧?kù)o地方。
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