22.(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn),,原點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求點(diǎn)的軌跡方程.
22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.滿分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設(shè)及,,不妨設(shè)點(diǎn),其中.由于點(diǎn)在橢圓上,有,即.
解得,從而得到.
直線的方程為,整理得.
由題設(shè),原點(diǎn)到直線的距離為,即,
將代入上式并化簡(jiǎn)得,即.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過(guò)點(diǎn)作,垂足為,易知,故.
由橢圓定義得,又,
所以,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),由知,直線的斜率為,所以直線的方程為,或,其中,.
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式,得,
整理得,
于是,.
由①式得
.
由知.將③式和④式代入得,
.
將代入上式,整理得.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,的坐標(biāo)滿足方程組
所以,.
由知,即,
解得.
這時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足.
綜上,點(diǎn)的軌跡方程為 .
解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,由,垂足為,可知直線的方程為.
記(顯然),點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由①式得. ③
由②式得. ?、?/p>
將③式代入④式得.
整理得,
于是. ?、?/p>
由①式得. ⑥
由②式得. ⑦
將⑥式代入⑦式得,
整理得,
于是. ?、?/p>
由知.將⑤式和⑧式代入得,
.
將代入上式,得.
所以,點(diǎn)的軌跡方程為.
四川文
(5)如果雙曲線=1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2,那么點(diǎn)P到y軸的距離是
(A) (B) (C) (D)
(10)已知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于
A.3 B.4 C.3 D.4
解析:選C.設(shè)直線的方程為,由,進(jìn)而可求出的中點(diǎn),又由在直線上可求出,∴,由弦長(zhǎng)公式可求出.本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.自本題起運(yùn)算量增大.
(21)(本小題滿分12分)
求F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若r是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點(diǎn),,求點(diǎn)P的作標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于同的兩點(diǎn)A、B,且∠ADB為銳角(其中O為作標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
解析:本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力.
(Ⅰ)易知,,.
∴,.設(shè).則
,又,
聯(lián)立,解得,.
(Ⅱ)顯然不滿足題設(shè)條件.可設(shè)的方程為,設(shè),.
聯(lián)立
∴,
由
,,得.①
又為銳角,
∴
又
∴
∴.②
綜①②可知,∴的取值范圍是.
四川理
20)(本小題滿分12分)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求.的最大值和最小值;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且∠為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
(20)本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。
解:(Ⅰ)解法一:易知
所以,設(shè),則
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image260.gif">,故當(dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值
當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值
解法二:易知,所以,設(shè),則
(以下同解法一)
(Ⅱ)顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,
聯(lián)立,消去,整理得:
∴
由得:或
又
∴
又
∵,即 ∴
故由①、②得或
上海理
8、已知雙曲線,則以雙曲線中心為焦點(diǎn),以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為
21、已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”,其中,是對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。
(1)若三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;
(2)若,求的取值范圍;
(3)一條直線與果圓交于兩點(diǎn),兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。是否存在實(shí)數(shù),使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn),得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上?若存在,求出所有的值;若不存在,說(shuō)明理由。
21.[解]
(1)∵F0(c,0)F1(0,),F2(0,)
∴| F0F1 |=,| F1F2 |=
于是,,所求“果圓”方程為
(x≥0),(x≤0). ……4分
(2)由題意,得a+c>2b,即.
∵(2b)2>b2+c2,∴a2-b2>(2b-a)2,得 ……7分
又b2>c2=a2-b2,∴.
∴.
(3)設(shè)“果圓”的方程為(x≥0)(x≤0)
記平行弦的斜率為k.
當(dāng)k=0時(shí),直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓(x≥0)的交點(diǎn)是
,與半橢圓(x≤0)的交點(diǎn)是Q().
∴P、Q的中點(diǎn)M(x,y)滿足
得.
∵a<2b,∴.
綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓……14分
當(dāng)k>0時(shí),以k為斜率過(guò)B1的直線l與半橢圓(x≥0)的交點(diǎn)是
由此,在直線l右測(cè),以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上,即不在某一橢圓上. ……17分
當(dāng)k<0時(shí),可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上. ……18分
上海文
21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分5分,第3小題滿分9分.
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”,其中,,.
如圖,設(shè)點(diǎn),,是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),,和,是“果圓” 與,軸的交點(diǎn),是線段的中點(diǎn).
(1)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求該
“果圓”的方程;
(2)設(shè)是“果圓”的半橢圓
上任意一點(diǎn).求證:當(dāng)取得最小值時(shí),
在點(diǎn)或處;
(3)若是“果圓”上任意一點(diǎn),求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo).
21.解:(1) ,
,
于是,
所求“果圓”方程為,.
(2)設(shè),則
,
, 的最小值只能在或處取到.
即當(dāng)取得最小值時(shí),在點(diǎn)或處.
(3),且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上,所以,由(2)知,只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可.
.
當(dāng),即時(shí),的最小值在時(shí)取到,
此時(shí)的橫坐標(biāo)是.
當(dāng),即時(shí),由于在時(shí)是遞減的,的最小值在時(shí)取到,此時(shí)的橫坐標(biāo)是.
綜上所述,若,當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)是;若,當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或.
陜西文
3.拋物線的準(zhǔn)線方程是
(A) (B)
(C) (D)
9.已知雙曲線C∶>0,b>0),以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是
(A)a (B)b (C) (D)
22. (本小題滿分14分)
已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.
22.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,依題意
,所求橢圓方程為.
(Ⅱ)設(shè),.
(1)當(dāng)軸時(shí),.
(2)當(dāng)與軸不垂直時(shí),
設(shè)直線的方程為.
由已知,得.
把代入橢圓方程,整理得,
,.
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),,
綜上所述.
當(dāng)最大時(shí),面積取最大值.
山東理
(13)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的一點(diǎn),與軸正向的夾角為,則為 .
(21)(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
[標(biāo)準(zhǔn)答案](I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,
(II)設(shè),由得
,
,.
以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),
,,
,
,解得
,且滿足.
當(dāng)時(shí),,直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾;
當(dāng)時(shí),,直線過(guò)定點(diǎn)
綜上可知,直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為
全國(guó)2理
11.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若雙曲線上存在點(diǎn),使且,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
12.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為該拋物線上三點(diǎn),若,則( )
A.9 B.6 C.4 D.3
20.(本小題滿分12分)
在直角坐標(biāo)系中,以為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)圓與軸相交于兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使成等比數(shù)列,求的取值范圍.
20.解:(1)依題設(shè),圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離,
即 .
得圓的方程為.
(2)不妨設(shè).由即得
.
設(shè),由成等比數(shù)列,得
,
即 .
由于點(diǎn)在圓內(nèi),故
由此得.
所以的取值范圍為.
全國(guó)2文
11.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則橢圓的離心率等于( )
A. B. C. D.
12.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上,且,則( )
A. B. C. D.
全國(guó)1理
(4)已知雙曲線的離心率為,焦點(diǎn)是,,則雙曲線方程為( )
A. B. C. D.
(11)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,經(jīng)過(guò)且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn),,垂足為,則的面積是( )
A. B. C. D.
(21)(本小題滿分12分)
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,.過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且,垂足為.
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,證明:;
(Ⅱ)求四邊形的面積的最小值.
(21)證明:
(Ⅰ)橢圓的半焦距,
由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,故,
所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)的斜率存在且時(shí),的方程為,代入橢圓方程,并化簡(jiǎn)得.
設(shè),,則
,
;
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image508.gif">與相交于點(diǎn),且的斜率為,
所以,.
四邊形的面積
.
當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).
(ⅱ)當(dāng)的斜率或斜率不存在時(shí),四邊形的面積.
綜上,四邊形的面積的最小值為.
寧夏理
6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,
點(diǎn),在拋物線上,
且, 則有( )
A. B.
C. D.
13.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心率為 .3
19.(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和.
(I)求的取值范圍;
(II)設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.解:(Ⅰ)由已知條件,直線的方程為,
代入橢圓方程得.
整理得 ?、?/p>
直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于,
解得或.即的取值范圍為.
(Ⅱ)設(shè),則,
由方程①,. ?、?/p>
又. ③
而.
所以與共線等價(jià)于,
將②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知或,故沒(méi)有符合題意的常數(shù).
遼寧理
11.設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn),是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則的面積為( )
A. B. C. D.
14.設(shè)橢圓上一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為10,是該橢圓的左焦點(diǎn),若點(diǎn)滿足,則= .
20.(本小題滿分14分)
已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)圓是的內(nèi)接圓(點(diǎn)為圓心)
(I)求圓的方程;
(II)設(shè)圓的方程為,過(guò)圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,求的最大值和最小值.
本小題主要考查平面向量,圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力.滿分14分.
(I)解法一:設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,由題設(shè)知
.
解得,
所以,或,.
設(shè)圓心的坐標(biāo)為,則,所以圓的方程為
.................................................................................. 4分
解法二:設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,由題設(shè)知
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image572.gif">,,可得.即
.
由,,可知,故兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以圓心在軸上.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,于是有,解得,所以圓的方程為.................................................................................. 4分
(II)解:設(shè),則
................................. 8分
在中,,由圓的幾何性質(zhì)得
,,
所以,由此可得
.
則的最大值為,最小值為.
江西理
9.設(shè)橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和,則點(diǎn)( )
A.必在圓內(nèi) B.必在圓上
C.必在圓外 D.以上三種情形都有可能
21.(本小題滿分12分)
設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和,,且存在常數(shù),使得.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線,并求出的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線雙曲線的右支于兩點(diǎn),試確定的范圍,使,其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
解法一:(1)在中,,即,
,即(常數(shù)),
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.
方程為:.
(2)設(shè),
①當(dāng)垂直于軸時(shí),的方程為,,在雙曲線上.
即,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image626.gif">,所以.
②當(dāng)不垂直于軸時(shí),設(shè)的方程為.
由得:,
由題意知:,
所以,.
于是:.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image635.gif">,且在雙曲線右支上,所以
.
由①②知,.
解法二:(1)同解法一
(2)設(shè),,的中點(diǎn)為.
①當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image626.gif">,所以;
②當(dāng)時(shí),.
又.所以;
由得,由第二定義得
.
所以.
于是由得
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image652.gif">,所以,又,
解得:.由①②知.
江西文
7.連接拋物線的焦點(diǎn)與點(diǎn)所得的線段與拋物線交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則三角形的面積為( )
A. B. C. D.
12.設(shè)橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和,則點(diǎn)( )
A.必在圓上 B.必在圓外
C.必在圓內(nèi) D.以上三種情形都有可能
22.(本小題滿分14分)
設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和,,且存在常數(shù),使得.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線,并求出的方程;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn).問(wèn):是否存在,使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
22.解:(1)在中,
(小于的常數(shù))
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.
方程為.
(2)方法一:在中,設(shè),,,.
假設(shè)為等腰直角三角形,則
由②與③得,
則
由⑤得,
,
故存在滿足題設(shè)條件.
方法二:(1)設(shè)為等腰直角三角形,依題設(shè)可得
所以,.
則.①
由,可設(shè),
則,.
則.②
由①②得.③
根據(jù)雙曲線定義可得,.
平方得:.④
由③④消去可解得,
故存在滿足題設(shè)條件.
江蘇理
3.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一條漸近線方程為,則它的離心率為
A. B. C. D.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知頂點(diǎn)和,頂點(diǎn)在橢圓上,則 .
19、(本小題滿分14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線,與拋物線相交于兩點(diǎn),一條垂直于軸的直線,分別與線段和直線交于,
(1)若,求的值;(5分)
(2)若為線段的中點(diǎn),求證:為此拋物線的切線;(5分)
(3)試問(wèn)(2)的逆命題是否成立?說(shuō)明理由。(4分)
解:(1)設(shè)過(guò)C點(diǎn)的直線為,所以,即,設(shè)A,=,,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image709.gif">,所以
,即,
所以,即所以
(2)設(shè)過(guò)Q的切線為,,所以,即,它與的交點(diǎn)為M,又,所以Q,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image732.gif">,所以,所以M,所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合,也就是QA為此拋物線的切線。
(3)(2)的逆命題是成立,由(2)可知Q,因?yàn)镻Q軸,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image737.gif">,所以P為AB的中點(diǎn)。
9.設(shè)分別是橢圓()的左、右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
20.(本小題滿分12分)
已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).
(I)若動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程;
(II)在軸上是否存在定點(diǎn),使.為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
20.解:由條件知,,設(shè),.
解法一:(I)設(shè),則則,,
,由得
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image411.gif">兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡(jiǎn)得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image769.gif">是與無(wú)關(guān)的常數(shù),所以,即,此時(shí)=.
當(dāng)與軸垂直時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為,,
此時(shí).
故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
解法二:(I)同解法一的(I)有
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn),使為常數(shù),
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I)有,.
以上同解法一的(II).
湖南文
9.設(shè)分別是橢圓()的左、右焦點(diǎn),是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為(為半焦距)的點(diǎn),且,則橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
19.(本小題滿分13分)
已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)是.
(I)證明,為常數(shù);
(II)若動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程.
19.解:由條件知,設(shè),.
(I)當(dāng)與軸垂直時(shí),可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,
此時(shí).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
綜上所述,為常數(shù).
(II)解法一:設(shè),則,,
,,由得:
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image411.gif">兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡(jiǎn)得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
湖北理
7.雙曲線的左準(zhǔn)線為,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和;拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為,則等于( )
A. B. C. D.
10.已知直線(是非零常數(shù))與圓有公共點(diǎn),且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么這樣的直線共有( )
A.60條 B.66條 C.72條 D.78條
19.(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線()相交于兩點(diǎn).
(I)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),求面積的最小值;
(II)是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出的方程;若不存在,說(shuō)明理由.(此題不要求在答題卡上畫(huà)圖)
19.本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力.
解法1:(Ⅰ)依題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為,可設(shè),
直線的方程為,與聯(lián)立得消去得.
由韋達(dá)定理得,.
于是.
,
當(dāng)時(shí),.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為,
的中點(diǎn)為,與為直徑的圓相交于點(diǎn),的中點(diǎn)為,
則,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
,
,
,
.
令,得,此時(shí)為定值,故滿足條件的直線存在,其方程為,
即拋物線的通徑所在的直線.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦長(zhǎng)公式得
,
又由點(diǎn)到直線的距離公式得.
從而,
當(dāng)時(shí),.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為,則以為直徑的圓的方程為,
將直線方程代入得,
則.
設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為,
則有.
令,得,此時(shí)為定值,故滿足條件的直線存在,其方程為,
即拋物線的通徑所在的直線.
湖北文
12.過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交曲線的左支于兩點(diǎn),為其右焦點(diǎn),則的值為_(kāi)_____.
廣東理
11.在平面直角坐標(biāo)系中,有一定點(diǎn),若線段的垂直平分線過(guò)拋物線則該拋物線的方程是 .
18. (本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于
坐標(biāo)原點(diǎn).橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(1)求圓的方程;
(2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn),使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
18. 解: (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m,n)(m<0,n>0),則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切,那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑,則
=2
即=4 ①
又圓與直線切于原點(diǎn),將點(diǎn)(0,0)代入得
m2+n2=8 ②
聯(lián)立方程①和②組成方程組解得
故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5,∴a2=25,則橢圓的方程為 + =1
其焦距c==4,右焦點(diǎn)為(4,0),那么=4。
要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)度4,我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn),半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。
通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程解得x=,y=
即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(,),使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)。
廣東文
11.在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P(2,4),則該拋物線的方程是 .
19(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心在第二象限、半徑為2/2的圓與直線相切于
坐標(biāo)原點(diǎn).橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(1)求圓的方程;
(2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn),使到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段的長(zhǎng).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19解:(1) 設(shè)圓C 的圓心為 (m, n)
則 解得
所求的圓的方程為
(2) 由已知可得
橢圓的方程為 , 右焦點(diǎn)為 F( 4, 0) ;
假設(shè)存在Q點(diǎn)使,
整理得 代入 得:
,
因此不存在符合題意的Q點(diǎn).
福建理
6.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是( )
A. B.
C. D.
20.(本小題滿分12分)如圖,已知點(diǎn),
直線,為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作直線
的垂線,垂足為點(diǎn),且.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),已知,,求的值;
20.本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí),考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),則,由得:
,化簡(jiǎn)得.
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),,又,
聯(lián)立方程組,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
.
解法二:(Ⅰ)由得:,
,
,
.
所以點(diǎn)的軌跡是拋物線,由題意,軌跡的方程為:.
(Ⅱ)由已知,,得.
則:.…………①
過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,
則有:.…………②
由①②得:,即.
福建文
10.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是( )
A. B.
C. D.
22.(本小題滿分14分)
如圖,已知,直線,為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為點(diǎn),且.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)已知,,求的值;
(2)求的最小值.
22.本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí),考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),則,由得:
,化簡(jiǎn)得.
(Ⅱ)(1)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),,又,
聯(lián)立方程組,消去得:,,
由,得:
,,整理得:
,,
.
解法二:(Ⅰ)由得:,
,
,
.
所以點(diǎn)的軌跡是拋物線,由題意,軌跡的方程為:.
(Ⅱ)(1)由已知,,得.
則:.…………①
過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,
則有:.…………②
由①②得:,即.
(Ⅱ)(2)解:由解法一,
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以最小值為.
北京理
17.(本小題共14分)
矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為,點(diǎn)在邊所在直線上.
(I)求邊所在直線的方程;
(II)求矩形外接圓的方程;
(III)若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn),且與矩形的外接圓外切,求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.
17.(共14分)
解:(I)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image204.gif">邊所在直線的方程為,且與垂直,所以直線的斜率為.
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,
所以邊所在直線的方程為.
.
(II)由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為,
因?yàn)榫匦?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image493.gif">兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為.
所以為矩形外接圓的圓心.
又.
從而矩形外接圓的方程為.
(III)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn),所以是該圓的半徑,又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,
所以,
即.
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支.
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng),半焦距.
所以虛半軸長(zhǎng).
從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.
北京文
4.橢圓的焦點(diǎn)為,,兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為,若,則該橢圓離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
19.(本小題共14分)
如圖,矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上.
(I)求邊所在直線的方程;
(II)求矩形外接圓的方程;
(III)若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn),且與矩形的外接圓外切,求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.
19.(共14分)
解:(I)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image204.gif">邊所在直線的方程為,且與垂直,所以直線的斜率為.
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,
所以邊所在直線的方程為.
.
(II)由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為,
因?yàn)榫匦?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image493.gif">兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為.
所以為矩形外接圓的圓心.
又.
從而矩形外接圓的方程為.
(III)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn),所以是該圓的半徑,又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,
所以,
即.
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支.
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng),半焦距.
所以虛半軸長(zhǎng).
從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.
安徽理
(9)如圖,和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),和是以為圓心,以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且△是等邊三角形,則雙曲線的離心率為
(A) (B) (C) (D)
(14)如圖,拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過(guò)這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,Q2,…,Qn-1,從而得到n-1個(gè)直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n→∞時(shí),這些三角形的面積之和的極限為 .
(19) (本小題滿分12分)
如圖,曲線G的方程為y2=2x(y≥0).以原點(diǎn)為圓心,以t(t >0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.
(Ⅰ)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式;
(Ⅱ)設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+2,求證:
直線CD的斜率為定值.
19.本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí),主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系,考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問(wèn)題的能力.本小題滿分12分.
解:(Ⅰ)由題意知,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image997.gif">,所以.
由于,故有. (1)
由點(diǎn)的坐標(biāo)知,
直線的方程為.
又因點(diǎn)在直線上,故有,
將(1)代入上式,得,
解得.
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image1006.gif">,所以直線的斜率為
.
所以直線的斜率為定值.
安徽文
(2)橢圓的離心率為
(A) (B) (C) (D)
(18)(本小題滿分14分)
設(shè)F是拋物線G:x2=4y的焦點(diǎn).
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)P(0,-4)作拋物線G的切線,求切線方程:
(Ⅱ)設(shè)A、B為勢(shì)物線G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),且滿足,延長(zhǎng)AF、BF分別交拋物線G于點(diǎn)C,D,求四邊形ABCD面積的最小值.
18.本小題主要考查拋物線的方程與性質(zhì),拋物線的切點(diǎn)與焦點(diǎn),向量的數(shù)量積,直線與拋物線的位置關(guān)系,平均不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.本小題滿分14分.
解:(I)設(shè)切點(diǎn).由,知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,故所求切線方程為.
即.
因?yàn)辄c(diǎn)在切線上.
所以,,.
所求切線方程為.
(II)設(shè),.
由題意知,直線的斜率存在,由對(duì)稱性,不妨設(shè).
因直線過(guò)焦點(diǎn),所以直線的方程為.
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
得,
由根與系數(shù)的關(guān)系知
.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image490.gif">,所以的斜率為,從而的方程為.
同理可求得.
.
當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以,四邊形面積的最小值為.
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