1．(北師大版第59頁A組第2題)正弦定理與余弦定理
在
中，若
，則
．
A． 
B．
C． 
D． 
變式1：在中，若 
，
，
，則
__________．
答案：1或3
變式2：在中，若 
，
，
，則此三角形的周長為__________．
答案：
變式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，S是△ABC的面積．若a=4，b=5，S=5
，求c的長度．
解：∵S＝
absinC，∴sinC＝
，于是∠C＝60°或∠C＝120°
又∵c2＝a2+b2－2abcosC，
當(dāng)∠C＝60°時，c2＝a2+b2－ab，c＝
當(dāng)∠C＝120°時，c2＝a2+b2+ab，c＝
∴c的長度為或
2．(北師大版第63頁A組第6題)三角形中的幾何計算
在中，
，
，
的平分線交過點
且與
平行的線于點
．求
的面積．
變式1：已知
的周長為
，且
．
(I)求邊
的長；
(II)若的面積為
，求角
的度數(shù)．
解：(I)由題意及正弦定理，得
，
，
兩式相減，得
．
(II)由的面積
，得
，
由余弦定理，得
，
所以
．
變式2：△ABC中，
則△ABC的周長為( )．
A．
B．
C．
D．
解：在
中，由正弦定理得：
化簡得：AC=
，化簡得：AB=
，
所以三角形△ABC的周長為：3+AC+AB=3+
+
=3+
故選D
變式3：在
，求(1)
(2)若點
解：(1)由
得：
，
由正弦定理知: 
，
(2)
，
由余弦定理知：
3．(北師大版第69頁練習(xí)2第2題)解三角形的實際應(yīng)用
某觀察站B在城A的南偏西
的方向，由A出發(fā)的一條公路走向是南偏東
，在B處測得公路上距B31km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到達(dá)D處，此時B，D間的距離為21km。這個人要走多少路才能到達(dá)A城？
變式1：如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向
相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船
立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30
，
相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少
度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)？
解析：連接BC,由余弦定理得：
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
即BC=10
∵
，
∴sin∠ACB=
，
∵∠ACB<90°，∴
．
∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援．
變式2：如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底
在同一水平面內(nèi)的兩個測點與．現(xiàn)測得
，并在點測得塔頂的仰角為
，求塔高．
解：在
中，
．
由正弦定理得：
．
所以
．
在
中，
．
變式3：
如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)
處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的
處，此時兩船相距
海里，問乙船每小時航行多少海里？
解法一：如圖，連結(jié)
，由已知
，
，
，
又
，
是等邊三角形，
，
由已知，
，
，
在
中，由余弦定理，得：
．
．
因此，乙船的速度的大小為
(海里/小時)．
答：乙船每小時航行海里．
解法二：如圖，連結(jié)
，由已知，，
，
，
．
在
中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，得：
，
，即
，
．
在
中，由已知
，由余弦定理，得：
．
，
乙船的速度的大小為海里/小時．
答：乙船每小時航行海里．
4．(北師大版第60頁A組第4題)三角函數(shù)圖像變換
將函數(shù)
的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)
的圖像？
變式1：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)
的圖像？
解：(1)先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到函數(shù)
的圖象；
(2)再將函數(shù)上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的
(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)
的圖象；
(3)再將函數(shù)的圖象向右平移
個單位，得到函數(shù)的圖象．
變式2：將函數(shù)
的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：(1)先將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)縮小為原來的(橫坐標(biāo)不變)，即可得到函數(shù)
的圖象；
(2)再將函數(shù)上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)
的圖象；
(3)再將函數(shù)的圖象向右平移
個單位，得到函數(shù)的圖象．
變式3：將函數(shù)
的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)
的圖像？
解：
另解：
(1)先將函數(shù)的圖象向右平移
個單位，得到函數(shù)
的圖象；
(2)再將函數(shù)上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)
的圖象；
(3)再將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到函數(shù)的圖象．
5．(北師大版第60頁B組第1題)三角函數(shù)圖像
函數(shù)
一個周期的圖像如圖所示，試確定A，
的值．
變式1：已知簡諧運(yùn)動
的圖象經(jīng)過點
，則該簡諧運(yùn)動的最小正周期
和初相
分別為( )
A．
，
B．，
C．
， D．，
答案選A
變式2：函數(shù)
在區(qū)間
的簡圖是( )
答案選A
變式3：如圖，函數(shù)
的圖象與軸交于點
，且在該點處切線的斜率為
．
求和
的值．
解：將
，
代入函數(shù)
得：
，
因為
，所以
．
又因為
，
，，所以
，
因此
．
6．(北師大版第60頁A組第6題)三角函數(shù)性質(zhì)
求下列函數(shù)的最大、最小值以及達(dá)到最大(小)值時的值的集合．
(1) 
； (2) 
變式1：已知函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值是，則的最小值等于
( )
(A)
(B)
(C)2 (D)3
答案選B
變式2：函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．［2kπ－
，2kπ+］(k∈Z)
B．［2kπ+，2kπ+
］(k∈Z)
C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)
D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)
答案選A．因為函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間．
變式3：關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+
)有以下命題：
①對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；
②不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
③存在，使f(x)是奇函數(shù)；
④對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。
其中一個假命題的序號是_____.因為當(dāng)=_____時，該命題的結(jié)論不成立。
答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，
+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時，f(x)=sinx是奇函數(shù)．當(dāng)=2(k+1)π，k∈Z時f(x)=－sinx仍是奇函數(shù)．當(dāng)=2kπ+，k∈Z時，f(x)=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函數(shù)．所以②和③都是正確的．無論為何值都不能使f(x)恒等于零．所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．①和④都是假命題．
7．(北師大版第66頁B組第2題)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
已知
，求
．
變式1：已知
，求
的值．
解：∵ ，
∴ 
即 
∴ 當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
．
變式2：已知
，那么角是( )．
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
答案選C．
變式3：
是第四象限角，
，則
( )．
A．
B．
C．
D．
答案選D．
8．(北師大版第132頁A組第4題)兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)
已知
，
，求
，
的值．
變式1：在中，已知
，
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值．
(Ⅰ)解：在中，
，
由正弦定理， 
．
所以
．
(Ⅱ)解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，
于是
，
，
．
∴ 
．
變式2：在中，
，
．
(Ⅰ)求角的大?。?/p>
(Ⅱ)若最大邊的邊長為
，求最小邊的邊長．
解：(Ⅰ)
，
．
又
，
．
(Ⅱ)
，
邊最大，即
．
又
，
角最小，邊為最小邊．
由
且
，
得
．由
得：
．
所以最小邊
．
變式3：已知
，且
,
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
.
解：(Ⅰ)由
，得
∴
，于是
(Ⅱ)由，得
又∵
，∴
由
得：
所以
．
9．(北師大版第144頁A組第1題)三角函數(shù)的簡單應(yīng)用
電流I隨時間t 變化的關(guān)系式
，
，設(shè)
，
．
(1)
求電流I變化的周期；
(2)
當(dāng)
(單位
)時，求電流I．
變式1：已知電流I與時間t的關(guān)系式為
．
(1)右圖是(ω＞0，
)
在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式；
(2)如果t在任意一段
秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？
解:(1)由圖可知 A＝300．
設(shè)t1＝－
，t2＝
，
則周期T＝2(t2－t1)＝2(+)＝
．
∴ ω＝
＝150π．
又當(dāng)t＝時，I＝0，即sin(150π.+)＝0，
而， ∴ ＝
．
故所求的解析式為
．
(2)依題意，周期T≤，即
≤，(ω>0)
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整數(shù)ω＝943．
變式2：如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似
滿足函數(shù)y=Asin(ωx+)+b.
(Ⅰ)求這段時間的最大溫差；
(Ⅱ)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
解：(1)由題中圖所示，這段時間的最大溫差是：
30－10＝20(℃).
(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+)+b的半個周期的圖象，
∴.
＝14－6，解得ω＝
.
由圖示，A＝(30－10)＝10，b＝(30+10)＝20.
這時y=10sin(x+)+20.
將x=6，y=10代入上式，可取＝
.
綜上，所求的解析式為y=10sin(x+)+20，x∈［6，14］
變式3：如圖，單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動，
離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數(shù)關(guān)系
為
.
(1)單擺擺動5秒時，離開平衡位置多少厘米？
(2)單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？
(3)單擺來回擺動10次所需的時間為多少秒？
10．(北師大版第150頁B組第6題)三角恒等變換
化簡：
．
變式1：函數(shù)y＝
的最大值是( )．
A.
－1 B.
+1 C.1－
D.－1－
答案選B
變式2：已知
，求
的值．
解：∵
，
∴ 
即
．
變式3：已知函數(shù)
，
．求
的最大值和最小值．
解：
．
又
，
，即
，
．