9..(全國II)如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α、β所成的角分別為和,過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A′、B′,則AB∶A′B′=
(A)2∶1
(B)3∶1 (C)3∶2
(D)4∶3
解析:連接,設(shè)AB=a,可得AB與平面所成的角為
,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A
[典型考例]
例1.(P75例3) 如圖,在五面體ABCDEF中,點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),面CDE是等邊三角形,棱 (I)證明平面 (II)設(shè)證明平面
(19)本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力。滿分12分。
(I)證明:取CD中點(diǎn)M,連結(jié)OM。
在矩形ABCD中,
又
則連結(jié)EM,于是
四邊形EFOM為平行四邊形。
又平面CDE,且平面CDE,平面CDE。
(II)證明:連結(jié)FM。由(I)和已知條件,在等邊中,
且
因此平行四邊形EFOM為菱形,從而。
平面EOM,從而
而所以平面
例2. 如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5點(diǎn)D是AB的中點(diǎn), (I)求證:AC⊥BC1; (II)求證:AC 1//平面CDB1; (III)設(shè)BD1的中點(diǎn)為F,求三棱錐B1-BEF的體積
證:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4AB=5,
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC,∴ AC⊥BC1;
(II)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE,∵ D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴ DE//AC1,
∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴ AC1//平面CDB1;
例2.已知ABCD是上.下底邊長(zhǎng)分別為2和6,高為的等腰梯形,將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角
(Ⅰ)證明:AC⊥BO1;
(Ⅱ)求點(diǎn)O1到平面AOC的距離。
(III)求四面體O1-ACO的體積。
(I)證明 由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,
即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OO1
所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖3,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3,0,0),
B(0,3,0),C(0,1,)O1(0,0,).
從而
所以AC⊥BO1.
例3.如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求四面體B-AED的體積。
解:(1)由平面可得PA^AC
又,所以AC^平面PAB,所以
(2)如圖,連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則
EO是△PDB的中位線,\EOPB
\PB平面
(3)如圖,取AD的中點(diǎn)F,連EF,F(xiàn)O,則EF是△PAD的中位線,\EFPA又平面,\EF^平面
同理FO是△ADC的中位線,\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=AB=PA=EF\ÐEOF=45°而二面角與二面角E-AC-D互補(bǔ),故所求二面角的大小為135°.
例4.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1,M是底面BC邊上的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)。(Ⅰ)當(dāng)B1M⊥AN時(shí),求CN的長(zhǎng)度;(Ⅱ)若CN=時(shí),求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。